Какъв е остатъка?

[Петър Евгениев]

Нека [tex]a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2018}[/tex] е строго растяща редица с положителни цели числа.
Знаем,че:[tex]a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2018}=2018^{2018}[/tex].
Какъв е остатъка когато разделим: [tex]a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{2018}^{3}[/tex] на 6.

[Добромир Глухаров]

$a^3\equiv a(mod 6)$

$2018\equiv 0(mod 6)$

Търсеният остатък е $0$.

[Петър Евгениев]

[tex]a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{2018}^{3}=?[/tex],
Понеже може да забележим,че:
$$0^{3}\equiv 0(mod 6)$$
$$1^{3}\equiv 1(mod 6)$$
$$2^{3}\equiv 8\equiv 2(mod 6)$$
$$3^{3}\equiv 27\equiv 3(mod 6)$$
$$4^{3}\equiv64 \equiv 4(mod 6)$$
$$...$$
$$\boxed{x^{3}\equiv x(mod 6)}$$
Демек търсената сума:[tex]a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{2018}^{3}\equiv a_{1}+a_{2}+...+a_{2018}(mod 6)\equiv2018^{2018}(mod 6)\equiv 2^{2018}(mod 6)[/tex]
Тук пак може да се забележи, че:
$$2^{1}\equiv 2(mod 6)$$
$$2^{2}\equiv 4(mod 6)$$
$$2^{3}\equiv 8\equiv 2(mod 6)$$
$$2^{4}\equiv 16 \equiv 4(mod 6)$$
$$...$$
$$2^{n}\equiv \begin{cases} 2(mod 6), n=2k+1 \\4(mod 6), n=2k \end{cases}$$
т.е. [tex]2^{2018}\equiv 4(mod 6)[/tex] значи търсеният остатък е 4.

[Добромир Глухаров]

Наистина - $2018\equiv 2(mod 6)$. Не знам къде гледам .