Произведение на корени

[Davids]

Да се намери произведението на реалните корени на уравнението $\frac{\sqrt{3-x^2}}{1 + \sqrt{3-x^2}} = x$

[S.B.]

Имаш ли отговори?

[Davids]

Имаш ли отговори?

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Би трябвало... Не съм я дорешил докрай, за да потвърдя, но в отговорите така го дават

[S.B.]

Имаш ли отговори?

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Би трябвало... Не съм я дорешил докрай, за да потвърдя, но в отговорите така го дават

Уха!Колко съм далеч от истината!!!

[matst]

Наистина е [tex]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex] и свеждам уравнението към система.

Полагам [tex]y=\sqrt{3-x^2}[/tex]. (като се получава [tex]\sqrt{3}\ge y\ge \sqrt{2}, 1\ge x\ge 0[/tex])

Имаме система с две уравнения [tex]xy=y-x[/tex] и [tex]x^2+y^2=3[/tex].
Първото се умн. по 2, вади се от второто и се получава
[tex](y-x)^2=3-2(y-x)[/tex]
Значи, [tex]y-x=1[/tex]
Така,
[tex]\begin{array}{|l} xy=1 \\ x^2 + y^2 = 3 \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex](x+y)^2=5[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x+y=\sqrt{5}[/tex]
Отг. [tex]x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]

[Davids]

Идеята е супер, браво! Нямаше да се сетя да го представя като система, а иначе какви ли не полагания въртях... А да разбирам ли, че се получава само един корен, та затова и търсеното „произведение“ от корени е равно само на него?

[matst]

Да.

[S.B.]

Аз тръгнах по същия път още снощи,но получих два реални корена [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{5} - 1}{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{-\sqrt{5} - 1}{2}[/tex], които принадлежат на Д.М. и [tex]x_{1 }[/tex].[tex]x_{2 }[/tex] = -1
С позволението на matst и Davids ще изложа и моето решение:Може би някъде греша?
[tex]\frac{\sqrt{3 - x^{2}}}{1 + \sqrt{3 - x^{2}}}[/tex] = х Д.М.:3 - [tex]x^{2}[/tex][tex]\ge[/tex] 0 [tex]\Rightarrow[/tex] ([tex]\sqrt{3}[/tex] + х)([tex]\sqrt{3} - х)[/tex][tex]\ge[/tex]0 от където х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] ; +[tex]\infty[/tex])
Полагам 3 - [tex]x^{2}[/tex] = [tex]y^{2}[/tex] и получавам [tex]\frac{y}{1 + y}[/tex] = x за y[tex]\ne[/tex]-1;
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + y^{2}= 3 \\ y = x + xy \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}(x - y)^{2} + 2xy = 3 \\ (x - y) +xy = 0 \end{array}[/tex] Сега полагам x - y = u и x.y = v ,замествам и получавам:
[tex]\begin{array}{|l} u^{2} + 2v = 3 \\ u + v = 0 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} u^{2} + 2v = 3 \\ u = -v \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]u^{2}[/tex] - 2u -3 =0 ,коерените на което са [tex]u_{1 }[/tex] = 3 и [tex]u_{2 }[/tex] = -1
Получиха се двойките : [tex]u_{1 }[/tex] = 3,[tex]v_{1 }[/tex] = -3 и [tex]u_{2 }[/tex] = -1 ,[tex]v_{2 }[/tex] = 1 Връщам субституцията и получавам 2 случая:
1)[tex]\begin{array}{|l} x - y = 3 \\ х y = - 3 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] след преобразуване: [tex]y^{2}[/tex] + 3y +3 = 0,D=-3<0 ,няма реални корени;
2)[tex]\begin{array}{|l} x - y = - 1 \\ x y = 1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] след преобразуване:[tex]y^{2}[/tex] - y - 1 = 0 с корени [tex]y_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex] и [tex]y_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex],но х = y -1 и тогава:
[tex]x_{1 }[/tex] = [tex]y_{1 }[/tex] - 1 = [tex]\frac{\sqrt{5} - 1}{2}[/tex] , [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]y_{2 }[/tex] - 1 = [tex]\frac{- \sqrt{5} - 1}{2}[/tex]
[tex]x_{1 }[/tex].[tex]x_{2 }[/tex] = - ([tex]\frac{\sqrt{5} + 1}{2}[/tex])([tex]\frac{\sqrt{5} - 1}{2}[/tex]) = - [tex]\frac{5 - 1}{4}[/tex] = -1

[Davids]

ДС всъщност ти е $x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$, оттам единият корен отпада

[S.B.]

ДС всъщност ти е $x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$, оттам единият корен отпада

Да прав си!Къде съм гледала снощи та съм решила,че Д.М. х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];+[tex]\infty[/tex])?Ето така стават убийствата!