Пирамидка

[Davids]

В триъгълна пирамида всички ръбове са равни на $\sqrt{6}$. Точка $M$ е от страната $AB$ така, че $AM:BM = 6:5$. Ако $S_1$ и $S_2$, $V_1$ и $V_2$ са лицата и обемите респективно на пирамидите $ACDM$ и $BCDM$, то да се намери сумата $\frac{S_1}{V_1} + \frac{S_2}{V_2}$.

[Alex98]

Нека [tex]V=V_{ABCD} ; S=S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
С Питагорова теорема може да намерим височината на пирамидата [tex]DH=\frac{a\sqrt{6}}{3} \Rightarrow V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}[/tex]
Пирамидите [tex]ACDM[/tex] и [tex]BCDM[/tex] имат една и съща височина спусната към равнината [tex]ABC[/tex] и тъй като [tex]AM:BM=6:5 \Rightarrow S_{AMC}:S_{BMC}=6:5 \Rightarrow V_{ACDM}:V_{BCDM}=6:5 \Rightarrow V_1=\frac{6}{11}V ; V_2=\frac{5}{11}V[/tex]
За да изразим лицата [tex]S_1[/tex] и [tex]S_2[/tex] е необходимо да намерим [tex]S_{CDM}[/tex]
[tex]CM=\frac{a\sqrt{91}}{11}[/tex] - това може да се намери с косинусова теорема.
[tex]\triangle AMC\cong \triangle AMD \Rightarrow CM=DM \Rightarrow \triangle CMD[/tex] е равнобедрен.
С Питагорова теорема може да намерим височината към [tex]CD \Rightarrow h_{CD}=\frac{7a\sqrt{5}}{22}[/tex]
Сега намираме лицето [tex]S_{CMD}=\frac{7a^2\sqrt{5}}{44}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_1=S_{ACD}+S_{AMC}+S_{AMD}+S_{CMD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{2.6a^2\sqrt{3}}{44}+\frac{7a^2\sqrt{5}}{44}=\frac{a^2(23\sqrt{3}+7\sqrt{5})}{44}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_2=S_{BCD}+S_{BMC}+S_{BMD}+S_{CMD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{2.5a^2\sqrt{3}}{44}+\frac{7a^2\sqrt{5}}{44}=\frac{a^2(21\sqrt{3}+7\sqrt{5})}{44}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{S_1}{V_1}=\frac{a^2(23\sqrt{3}+7\sqrt{5})}{44}:\frac{6.a^3\sqrt{2}}{12.11}=\frac{a^2(23\sqrt{3}+7\sqrt{5})}{44}.\frac{22}{a^3\sqrt{2}}=\frac{23\sqrt{6}+7\sqrt{10}}{4a}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{S_2}{V_2}=\frac{a^2(21\sqrt{3}+7\sqrt{5})}{44}:\frac{5.a^3\sqrt{2}}{12.11}=\frac{a^2(21\sqrt{3}+7\sqrt{5})}{44}.\frac{12.11}{5a^3\sqrt{2}}=\frac{63\sqrt{6}+21\sqrt{10}}{10a}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{S_1}{V_1}+\frac{S_2}{V_2}= \frac{115\sqrt{6}+35\sqrt{10}+126\sqrt{6}+42\sqrt{10}}{20\sqrt{6}}=\frac{723+77\sqrt{15}}{60}[/tex]

[S.B.]

Пирамидата е ABCD,като AB = BC = AC = AD = BD = CD = [tex]\sqrt{6}[/tex]; т.М[tex]\in[/tex]AB ,така,че AM :MB = 6 :5
Да се определи [tex]\frac{S_{ACDM }}{V_{ACDM }}[/tex] + [tex]\frac{S_{BCDM }}{V_{BCDM }}[/tex]
AM:MB = 6:5,AB = [tex]\sqrt{6}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AM = [tex]\frac{6\sqrt{6}}{11}[/tex],a BM = [tex]\frac{5\sqrt{6}}{11}[/tex];[tex]\triangle[/tex]ABC e равностранен със страна [tex]\sqrt{6}[/tex] и височината му h = [tex]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex];
[tex]S_{AMC }[/tex] = [tex]\frac{AM.h}{2}[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{3}}{11}[/tex] ; [tex]S_{BMC }[/tex] = [tex]\frac{BM.h}{2}[/tex] = [tex]\frac{15\sqrt{3}}{22}[/tex]; [tex]\triangle[/tex]AMC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]AMD и [tex]\triangle[/tex]BMC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]BMD
[tex]S_{AMCD }[/tex] = 2[tex]S_{AMC }[/tex] + [tex]S_{ADC }[/tex] + [tex]S_{MCD }[/tex] ; [tex]S_{BMCD }[/tex] = 2[tex]S_{BMC }[/tex] + [tex]S_{BCD }[/tex] + [tex]S_{MCD }[/tex];(*)
[tex]S_{ACD }[/tex] = [tex]S_{BCD }[/tex] = [tex]\frac{6\sqrt{3}}{4}[/tex] ( от равностранните триъгълници със страна = [tex]\sqrt{6}[/tex])
[tex]\triangle[/tex]MCD e равнобедрен - MC = MD = [tex]\frac{\sqrt{546}}{11}[/tex] ( след косинусова теорема за [tex]\triangle[/tex]MBD)
В [tex]\triangle[/tex]MDC построяваме MN[tex]\bot[/tex]DC и по Питагор за [tex]\triangle[/tex]NMC получавам MN=[tex]\frac{27\sqrt{2}}{22}[/tex] и тогава [tex]S_{MCD }[/tex] = [tex]\frac{27\sqrt{3}}{22}[/tex];
След заместване в (*) се получава : [tex]S_{AMCD }[/tex] = [tex]\frac{48\sqrt{3}}{11}[/tex] и [tex]S_{BMCD }[/tex] = [tex]\frac{45\sqrt{3}}{11}[/tex];
За обема двете пирамиди имат обща височина:Построяваме АP[tex]\bot[/tex]BC;по AD и AP построяваме равнина ADP;DH[tex]\bot[/tex]AP,и т.H е прес.точка на медианите в основата и AH = [tex]\frac{2}{3}[/tex]AP = [tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex] или AH=[tex]\sqrt{2}[/tex];От [tex]\triangle[/tex]AHD по Питагор получаваме DH=2;
[tex]V_{AMCD }[/tex] = [tex]\frac{6\sqrt{3}}{11}[/tex] и [tex]V_{BMCD }[/tex] = [tex]\frac{5\sqrt{3}}{11}[/tex];
[tex]\frac{S_{AMCD }}{V_{AMCD }}[/tex] + [tex]\frac{S_{BMCD }}{V_{BMCD }}[/tex] = [tex]\frac{\frac{48\sqrt{3}}{11}}{\frac{6\sqrt{3}}{11}}[/tex] + [tex]\frac{\frac{45\sqrt{3}}{11}}{\frac{5\sqrt{3}}{11}}[/tex] = 8 + 9 = 17

[Davids]

Отговорът на S.B. е правилният... Истината е, че три пъти я пререшавах и все различна сметка получавах накрая, а решавах по един и същи начин... И все неща от сорта на първия отговор в темата получавах... И реших, че явно не ми е правилен начина и за да получа 17 накрая, ще трябва да има някакъв хитър начин (да не забравяме, кенгурска задача!), но уви... няма И тъй, по живо по здраво и благодаря за споделените решения!

[S.B.]

Отговорът на S.B. е правилният... Истината е, че три пъти я пререшавах и все различна сметка получавах накрая, а решавах по един и същи начин... И все неща от сорта на първия отговор в темата получавах... И реших, че явно не ми е правилен начина и за да получа 17 накрая, ще трябва да има някакъв хитър начин (да не забравяме, кенгурска задача!), но уви... няма И тъй, по живо по здраво и благодаря за споделените решения!

Благодаря за оценката!Задачата не е нещо особено като стереометрия и геометрия - там нещата са прости и ясни.Още от самото начало ми стана ясно,че се иска много внимателна работа с ирационалните числа,че трябва изразите да се опростяват максимално и въпреки,че не знаех отговора,бях сигурна,че накрая ще има съкращения и отговора ще е много простичък. Ще се радвам се ако съм допринесла с нещо към твоята "кенгурска" подготовка!