Допирателни окръжности

[Davids]

Дадени са три окръжности $k_1(1cm), k_2(2cm), k_3(3cm)$, които се допират външно две по две. Да се намери радиуса на окръжността, до която трите окръжности се допират вътрешно.

[ева]

Точно тази задача се опитах да опиша в темата-Три окръжности се допират външно две по две (пратена от джина на
23 август 2012 г.-9 клас,1 стр.)
Продължавам да мисля,че [tex]R_{4 }[/tex]=2[tex]R_{3 }[/tex]=2.3=6 см. ([tex]K_{4 }[/tex]([tex]O_{4 }[/tex];[tex]R_{4 }[/tex]) е окр.,до която трите окръжности се допират вътрешно)

Скрит текст: покажи

Как да го докажа ?

[Добромир Глухаров]

Английският радиохимик Фредерик Соди открил, че ако a,b,c,d са кривините на четирите окръжности (реципрочни на радиусите), то $2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2$

В тази задача $a=1;\ b=\frac{1}{2};\ c=\frac{1}{3}$ и като решим уравнението спрямо $d$, получаваме $d_1=-\frac{1}{6};\ d_2=\frac{23}{6}$, т.е. радиусът на вътрешно допиращата се окръжност е $R=6$, а радиусът на външно допиращата се - $r=\frac{6}{23}$

[Davids]

Точно тази задача се опитах да опиша в темата-Три окръжности се допират външно две по две (пратена от джина на
23 август 2012 г.-9 клас,1 стр.)
Продължавам да мисля,че [tex]R_{4 }[/tex]=2[tex]R_{3 }[/tex]=2.3=6 см. ([tex]K_{4 }[/tex]([tex]O_{4 }[/tex];[tex]R_{4 }[/tex]) е окр.,до която трите окръжности се допират вътрешно)

Скрит текст: покажи

Как да го докажа ?

Ето това е решението от авторите:

Reshenie.png (60.99 KiB) Прегледано 860 пъти

Аз лично обаче качих задачата с надеждата за нещо по-фундаментално като основа на такъв тип задачи и наистина искрено благодаря на Д. Глухаров, че сподели това. Точно това търсех. Да живей математиката!

[Добромир Глухаров]

Соди обобщил формулата си така: Нека в Евклидово пространство с $n$ измерения са дадени $n+2$ хиперсфери такива, че всяка допира всяка от останалите $n+1$. Нека $\kappa_i=\frac{1}{r_i}$ е кривината на $i$-тата хиперсфера. Тогава е в сила $n\sum_{i=1}^{n+2}\kappa_i^2=\left(\sum_{i-1}^{n+2}\kappa_i\right)^2$ На положителна кривина отговаря хиперсфера с по-малък радиус, до която другите се допират външно. Съответно на отрицателна кривина - хиперсфера с по-голям радиус, която съдържа останалите - те се допират до нея отвътре.

[Добромир Глухаров]

Ето и линк.