Индукция

[Hephaestus]

Дадена е редицата [tex]a_{1 } = 1, a_{2 } = 8[/tex] и [tex]a_{n } = a_{n-1 } + 2a_{n-2 }[/tex] за всяко естествено число [tex]n \ge 3[/tex].

Да се докаже, че [tex]a_{n } = 3.2^{n-1 } + 2(-1)^{n }[/tex] за [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex].

[Добромир Глухаров]

Индукцията е лесна, но е интересно как е получена формулата за общия член.

$a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}$

Характеристично уравнение: $r^2=r+2\Rightarrow r^2-r-2=0;\ D=1-4.(-2)=9;\ r_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}=2;-1$

$\Rightarrow a_n=c_1.2^n+c_2.(-1)^n$
$a_1=1\Rightarrow c_1.2+c_2.(-1)=1\Rightarrow 2c_1-c_2=1 (1)$
$a_2=8\Rightarrow c_1.4+c_2=8\Rightarrow 4c_1+c_2=8 (2)$
$(1)+(2)=6c_1=9\Rightarrow c_1=1,5$
$(1)=3-c_2=1\Rightarrow c_2=2$

$a_n=1,5.2^n+2.(-1)^n=3.2^{n-1}+2.(-1)^n$

[Добромир Глухаров]

А с индукция е нещо такова:

$a_n=3.2^{n-1}+2.(-1)^n$ е вярно за $n=1$ и $n=2$ - непосредствена проверка със заместване - $a_1=3.2^0+2.(-1)^1=3-2=1$ и $a_2=3.2^1+2.(-1)^2=8$

Нека $a_{k-2}=3.2^{k-3}+2.(-1)^{k-2}$ и $a_{k-1}=3.2^{k-2}+2.(-1)^{k-1}$ - изпълнено за $n=k-2$ и $n=k-1$

Ще проверим, че е вярно и за $n=k$

$a_k=a_{k-1}+2a_{k-2}=3.2^{k-2}+2.(-1)^{k-1}+2.(3.2^{k-3}+2.(-1)^{k-2})=(3.2+2.3).2^{k-3}+(2-2.2).(-1)^{k-1}=3.4.2^{k-3}+2.(-1)^k=3.2^{k-1}+2.(-1)^k$

Следователно съгласно Принципа на пълната математична индукция (ППМИ) $a_n=3.2^{n-1}+2.(-1)^n$ е вярно за всяко $n\in\mathbb{N}$

[Knowledge Greedy]

След чудесните и бързи решения на Добромир предлагам още едно, под същото мото (на второто решение на Добромир) "Индукцията е лесна, но е интересно как е получена формулата за общия член." - за хората, запознати с геометричната прогресия и умеещи да решават системи от линейни уравнения.
Дадената формула [tex]a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}[/tex]
записваме така [tex]a_n+a_{n-1}=2a_{n-1}+2a_{n-2}[/tex]
Следователно
[tex]a_n+a_{n-1}=2\left ( a_{n-1}+a_{n-2} \right )[/tex]
Последното прилича на [tex]\fbox{b_{n-1}=2b_{n-2}}[/tex]
За никой не е тайна, че сме приложили по-краткото означение [tex]b_{n-2}=a_{n-1}+a_{n-2}[/tex], при което [tex]a_n+a_{n-1}[/tex] е станало [tex]a_n+a_{n-1}=b_{n-1} \,\ (1)[/tex]
А от условията [tex]a_{1}=1[/tex] и [tex]a_{2}=8[/tex], получаваме [tex]b_1=9[/tex].
И числата (всички !) [tex]b_n[/tex] са [tex]9, 18, 36, 72, ...[/tex], се получават по формулата [tex]\fbox{b_n=9.2^{n-1} } \,\ (\ast)[/tex]
Нека запишем дадената формула [tex]a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}[/tex]
и така [tex]a_n-2a_{n-1}=-a_{n-1}+2a_{n-2}[/tex]
Явно е общото между лявата [tex]a_n-2a_{n-1}[/tex] и дясната страна [tex]-(a_{n-1}-2a_{n-2})[/tex],
което отразяваме по-кратко така: [tex]\fbox{c_{n-1}=-c_{n-2}}[/tex] [tex][/tex]
По-краткото означение [tex]c_{n}[/tex] идва от [tex]c_{n-2}=a_{n-1}-2a_{n-2}[/tex] в дясната страна, при което лявата страна [tex]a_{n}-2a_{n-1}[/tex] става [tex]a_n-2a_{n-1}=c_{n-1} \,\ (2)[/tex]
Поради [tex]a_{1}=1[/tex] и [tex]a_{2}=8[/tex], получаваме [tex]c_1=6[/tex].
Всички числа [tex]c_n[/tex] са [tex]6, -6, 6, -6, ...[/tex] и се получават по формулата [tex]\fbox{c_n=6.(-1)^{n-1} } \,\ (\ast \ast)[/tex]
Забелязахте ли, че членовете на нашата редица включихме в система [tex]\left | \begin{matrix}
(1) \\
(2)
\end{matrix}\right .[/tex] (с две неизвестни [tex]a_{n}[/tex] и [tex]a_{n-1}[/tex])
и остава да решим тази система, водени от оптимизма, че знаем нещо за редиците [tex]\left \{ b \right \}_{n=1}^{\infty }[/tex] и [tex]\left \{ c \right \}_{n=1}^{\infty }[/tex]
Решаваме системата [tex]\left | \begin{matrix}
a_n+a_{n-1}=b_{n-1} \\
a_n-2a_{n-1}=c_{n-1}
\end{matrix}\right .[/tex], като умножаваме първото уравнение с две и събираме двете уравнения. Така изключваме неизвестното [tex]a_{n-1}[/tex].
В резултата [tex]3a_n=2b_{n-1}+c_{n-1}[/tex] заместваме, като използваме [tex]( \ast)[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex], делим на три и получаваме формулата за общия член на редицата [tex]\left \{ a \right \}_{n=1}^{\infty }[/tex].
[tex]a_n=3.2^{n-1}+2.(-1)^{n-2}[/tex]

[KOPMOPAH]

Професорът си е професор