БОМ - 2018, задачи

[inveidar]

Току що разбрах, че първата задача на БОМ за тази година е моя!

BMOproblems2018_English.png (62.76 KiB) Прегледано 943 пъти

[Illuzion]

Поздравления!!!

[Davids]

Искрените и мои поздравления имаш! Мога да си представя каква чест е това. Гордеем се!

[S.B.]

Приемете най - искрените ми поздравления!

[Петър Евгениев]

Супер!

[KOPMOPAH]

Най-сърдечни поздравления!

[aifC]

Честито, следващия път да са две !

[matst]

Едно тригонометрично решение на Задача 1.(решение със смятане с триъгълници е публикувано на сайта на БОМ - 2018)

Нека [tex]\alpha=\angle BAC[/tex], [tex]\beta=\angle ABD[/tex], [tex]\delta=\angle BEC[/tex].

По sin-т.ма [tex]AM=ME\frac{1}{\sin \alpha}[/tex] и [tex]CM=ME\frac{\sin(90^\circ - \delta)}{\sin(\angle ECA)}[/tex].
Преобразува се [tex]CM= ME\frac{\cos(\delta)}{\sin(\delta-\alpha)}=ME \frac{1}{\tan \delta \cos\alpha - \sin\alpha}[/tex]

Следователно, [tex]AM.CM = \frac{ME^2}{\sin\alpha (\tan \delta \cos\alpha - \sin\alpha)}[/tex]

Аналогично, [tex]BM.DM = \frac{ME^2}{\sin\beta (\tan \delta \cos\beta - \sin\beta)}[/tex]

И от равенството [tex]AM.CM=BM.DM[/tex] се извежда, че (условието [tex]AB\not\parallel CD[/tex] гарантира, че [tex]\alpha\neq \beta[/tex])
[tex]\tan\delta=\frac{\sin^2 \beta -\sin^2 \alpha}{\sin\beta\cos\beta - \sin\alpha\cos\alpha} = ...= \tan (\alpha+\beta).[/tex]
Следователно, [tex]\delta=\alpha+\beta[/tex] (да отбележим, че [tex]0<\alpha+\beta<180[/tex] от триъг. [tex]\triangle ABM[/tex]).

Следователно, четириъгълник [tex]BCME[/tex] е вписан [tex]\implies \angle BCA=90^\circ[/tex]
От тук, се заключава, че [tex]AB[/tex] е диаметър.

[drago]

@inveidar: Браво!

[ins-]

Честито и от мен!

[georgi111]

Много добри и трудни задачи по мое мнение … 1ва и 4та - български - едната много красив геометричен факт, другата класика в теория на числата Поздрави за г-н Стоянов и да продъължава все така да мисли (пък може и след дългоочакваното излизане в пенсия разбира се )