Задачи от руска олимпиада

[inveidar]

олимпиадаРусия.png (27.17 KiB) Прегледано 1025 пъти

[inveidar]

Стават за класна работа в 12 клас!

[S.B.]

Стават за класна работа в 12 клас!

Зависи за кое училище.В повечето училища въобще няма да разберат за какво става дума,а после нищо чудно гневни родители да протестират пред МОН!

[Петър Евгениев]

Стават за класна работа в 12 клас!

Зависи за кое училище.В повечето училища въобще няма да разберат за какво става дума,а после нищо чудно гневни родители да протестират пред МОН!

У СМГ-то това и за закуска в междучасието няма да стигне, ама в "нормално" българско училище където се учи математика по 2 часа на седмица я го дай на класно.
Не протест, ами каквото ще да е, как ще изискаш от "горките дечица" да решават нещо, което не са учили?
Не ми се говори за това просто.

[Davids]

Интересно ми е само, как се води официално олимпиадата? От любопитство питам
Иначе си харесах като за подгрявка пета задача:
$log_{\sqrt{x+7}-x}(x + 4) \ge 1$
Първо оправяме ДС:
[tex]\begin{array}{|l} x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 \\ \sqrt{x + 7} - x > 0 \Rightarrow x \in [-7; \frac{1 + \sqrt{29}}{2}) \\ \sqrt{x + 7} - x \ne 1 \Rightarrow x \ne 2 \end{array}[/tex]
Окончателно ДС: $x \in (-4; \frac{1 + \sqrt{29}}{2})/\{2\}$

Решаваме вече неравенството. За да имаме логаритъм не по-малък от едно, то значи основата трябва да е не по-голяма от числото, което се логаритмува:
$x + 4 \ge \sqrt{x + 7} - x$
$\sqrt{x + 7} \le 2x + 4$

Решаваме:
$\begin{array}{|l} 2x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \\ (2x + 4)^2 \ge x + 7 \ \end{array}$

Доразвиваме долното:
$4x^2 + 16x + 16 - x - 7 \ge 0$
$...$
$x \in (-\infty; -3] \cup [-\frac{3}{4}; +\infty)$

Пресичаме с всички ДС досега и получаваме за окончателно решение: $x \in [-\frac{3}{4}; \frac{1 + \sqrt{29}}{2})/\{2\}$

Честно казано, почвайки да пиша този пост и да решавам паралелно очаквах малко по-малко сметки и повече уловки. Трепетно очаквам някой да ме хване в грешка някъде, та да съм удовлетворен

[inveidar]

Интересно ми е само, как се води официално олимпиадата? От любопитство питам
Иначе си харесах като за подгрявка пета задача:
$log_{\sqrt{x+7}-x}(x + 4) \ge 1$
Първо оправяме ДС:
[tex]\begin{array}{|l} x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 \\ \sqrt{x + 7} - x > 0 \Rightarrow x \in [-7; \frac{1 + \sqrt{29}}{2}) \\ \sqrt{x + 7} - x \ne 1 \Rightarrow x \ne 2 \end{array}[/tex]
Окончателно ДС: $x \in (-4; \frac{1 + \sqrt{29}}{2})/\{2\}$

Решаваме вече неравенството. За да имаме логаритъм не по-малък от едно, то значи основата трябва да е не по-голяма от числото, което се логаритмува:
$x + 4 \ge \sqrt{x + 7} - x$
$\sqrt{x + 7} \le 2x + 4$

Решаваме:
$\begin{array}{|l} 2x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \\ (2x + 4)^2 \ge x + 7 \ \end{array}$

Доразвиваме долното:
$4x^2 + 16x + 16 - x - 7 \ge 0$
$...$
$x \in (-\infty; -3] \cup [-\frac{3}{4}; +\infty)$

Пресичаме с всички ДС досега и получаваме за окончателно решение: $x \in [-\frac{3}{4}; \frac{1 + \sqrt{29}}{2})/\{2\}$

Честно казано, почвайки да пиша този пост и да решавам паралелно очаквах малко по-малко сметки и повече уловки. Трепетно очаквам някой да ме хване в грешка някъде, та да съм удовлетворен

Хванат си! Отговорът е [tex]x\in[-\frac{3}{4};2)[/tex].

[inveidar]

У СМГ-то това и за закуска в междучасието няма да стигне, ама в "нормално" българско училище където се учи математика по 2 часа на седмица я го дай на класно.
Не протест, ами каквото ще да е, как ще изискаш от "горките дечица" да решават нещо, което не са учили?
Не ми се говори за това просто.

Е, чак пък толкоз?! На състезание изкарвате по седем осем добри ученика.

[Петър Евгениев]

Е, чак пък толкоз?! На състезание изкарвате по седем осем добри ученика.

Не знам дали сериозно казвате тук или се майтапите, но ако сте сериозен значи не сте били в някое училище, където математиката е "ЗАДЪЛЖИТЕЛНА" подготовка, направо сърцето ми се къса...
Дори учител да си(принципно говоря, не ви говоря на ти ) на "ЗАДЪЛЖИТЕЛНА" подготовка програма там как се води, ако не си учил така, няма как да разбереш 'баш за какво става дума.
Самоподготовката е ясно, че е най-важното, но все пак я го кажи това, ако така учиш.

[Davids]

Хванат си! Отговорът е [tex]x\in[-\frac{3}{4};2)[/tex].

Да, случаят, когато основата е по-малка от едно... A това, което съм писал горе като решение, всъщност важи само при основа, по-голяма от 1, т.е. за $\sqrt{x + 7} - x > 1$, решение на което е $x \in [-7; 2)$ и това всъщност ограничава решението отгоре откъм двойката.

Пропуснал съм да разгледам обаче, както вече споменах, случая, когато основата е по-малка от едно. Тоест за $\sqrt{x + 7} > x + 1$, решение на което е $x > 2$. Сечено с условието, да е по-голяма от нула, т.е. основата да е в интервала $(0; 1)$, получаваме $x \in (2; \frac{1 + \sqrt{29}}{2})$. При такава основа ще искаме този път логаритмуемото ( ) да е не по-малко от основата, т.е.:
$x + 4 \le \sqrt{x + 7} - x$.
Решенията са $x \in (-3; -2]$, които обаче никак не влизат в ДС за случая, а и в началните ДС още от горния ми пост. И така окончателния отговор става, както вече отбеляза и ти, $x \in [-\frac{3}{4}; 2)$

[Davids]

Зад. 2:
$f(x) = sin3xsin7x - sin^2x + cos^25x + 4$
$= \frac{1}{2}(cos4x - cos10x) - sin^2x + cos^25x + 4$
$= \frac{1}{2}(1 - 2sin^22x - 2cos^25x + 1) - sin^2x + cos^25x + 4$
$= 1 - sin^22x \cancel{- cos^25x} \cancel{+ cos^25x} - sin^2x + 4$
$= -4sin^2xcos^2x - sin^2x + 5$
$= -sin^2x(1 + 4cos^2x) + 5$
$= -sin^2x(1 + 4 - 4sin^2x) + 5$

Ако положим $t = sin^2x \in [0; 1]$, то

$f(x) = g(t) = 4t^2 - 5t + 5$
Квадратна функция, положителен коефициент пред висшата степен, значи
$t_0 = \frac{5}{8} \in [0; 1]$, тогава $g_{min}(t) = g(\frac{5}{8}) = \frac{65}{16}$ //ако не съм сбъркал сметките...

А за максимална стойност лесно проверяваме, че $g(0) = 5 > g(1) = 4$, следователно $g_{max}(t) = 5$

[123a]

Задача 6


[tex]\frac{S_{BQL}}{S_{ABC}}=\frac{5}{12}=>S_{BQL}=5y,S_{ABC}=12y[/tex]

$\frac{S_{ABL}}{S_{ABC}}=\frac{LB.AB}{BC.AB}=>\frac{S_{ABL}}{12y}=\frac{LB}{BC}=>S_{ABL}=12y.\frac{LB}{BC}(1)$

$\frac{S_{BQL}}{S_{ABL}}=\frac{LB.LQ}{AL.BL}=>\frac{S_{BQL}}{S_{ABL}}=\frac{LQ}{AL}(2)$

Заместваме $(1)$ в $(2)$

$\frac{5y.BC}{12y.LB}=\frac{LQ}{AL}=>\frac{BC}{LB}=\frac{12LQ}{5.AL}(3)$

Прилагаме Теорема на Менелай за $\triangle$$ALC$ и правата $BF$.

$\frac{BC}{LB}.\frac{LQ}{AQ}.\frac{AF}{FC}=1(4)$

Заместваме $(3)$ в $(4)$

$\frac{12LQ}{5.AL}.\frac{LQ}{AQ}.\frac{2}{5}=1=>\frac{24LQ^2}{25.AQ(AQ+LQ)}=1=>24LQ^2-25.AQ.LQ-25AQ^2=0$

Последното е хомогенно уравнение, където разделяме на $AQ^2\ne0$ и полагаме $\frac{LQ}{AQ}=t>0$

И получаваме уравнението $24t^2-25t-25=0$ с корени $t_1=-\frac{5}{8},t_2=\frac{5}{3}$ Очевидно само $t_2=\frac{5}{3}$ ни върши работа и от тук намираме, че $\frac{LQ}{AQ}=\frac{5}{3}=>LQ=5z, AQ=3z, AL=8z$

Нека разстоянието то $Q$ до $AC$ е $QM=6$, а от $L$ до $AC$ e $LN$

$\triangle$$MAQ$$\approx$$\triangle$$NAL$

$\frac{MQ}{NL}=\frac{AQ}{AL}=>\frac{6}{NL}=\frac{3}{8}=>NL=16$

Това получавам аз.

[inveidar]

Интересно ми е само, как се води официално олимпиадата? От любопитство питам

Ще ти кажа, но след като решите задачите.

[Davids]

Да се заемаме тогава
1 Зад.:
Така, ако приравним $y = k = 2x^2$, където $k$ е константа, то значи дължината на отсечката, която параболата отсича от другата фунцкия, е равна на $s = 2|x| = \sqrt{2k}$. В първия случай това е $s_1 = \sqrt{2.98} = 14$, а във втория - $s_2 = \sqrt{2.18} = 6$. Респективно за третата дадена функция, дължината на третата страна $s_3 = \sqrt{2a}$. Т.е., търсим триъгълник със страни $s_1 = 14, s_2 = 6, s_3 = \sqrt{2a}$, който да има ъгъл $120^{\circ}$. Тъй като срещу този ъгъл така или иначе ще лежи най-голямата страна, имаме два случая:
I) $s_3$ е най-голямата страна, като ще трябва $s_3 < s_1 + s_2 = 20$
II) $s_3$ е средната страна, като тогава $s_3 + 6 > 14 \Rightarrow s_3 > 8$

Трети случай, където $s_3$ е най-малката страна, не е възможен, тъй като тогава пак ще трябва $s_3 + 6 > 14 \Rightarrow s_3 > 8$ и автоматично стигаме до противоречие.

Разглеждаме двата случая с помощта на косинусова теорема:
I) $s_3^2 = 196 + 36 - 2.14.6.cos120 = 316$
$\Rightarrow s_3 = 2\sqrt{79} = \sqrt{2a} \Rightarrow a_1 = \frac{4.79}{2} = 158$

II) $196 = s_3^2 + 36 - 2.6.s_3.cos120$
$s_3^2 + 6s_3 - 160 = 0$

Единствен положителен корен е $s_3 = 2\sqrt{41} - 3 = \sqrt{2a}$
$\Rightarrow 2a_2 = 164 + 9 - 12\sqrt{41}$
$\Rightarrow a_2 = 86,5 - 6\sqrt{41}$

Май нещо някъде съм объркал със сметките... но схващате идеята

[Davids]

Wild guess след първите няколко разсъждения по трета задача: отговорът случайно някой също да го е получил нещо като $435 301$ на брой числа? Другояче казано:
$(10.2 + 3).3^9 - (11 + 6).2^{10}$
Ще обяснявам ако не е МНОГО грешно (знам че няма как да е малко или много грешно, ама все пак )

[inveidar]

Wild guess след първите няколко разсъждения по трета задача: отговорът случайно някой също да го е получил нещо като $435 301$ на брой числа? Другояче казано:
$(10.2 + 3).3^9 - (11 + 6).2^{10}$
Ще обяснявам ако не е МНОГО грешно (знам че няма как да е малко или много грешно, ама все пак )

Много грешно е.

[ABK]

Отг.: 6132 = [tex]2^{9}[/tex].11 - 11 + [tex]2^{9}[/tex] - 1.

Нека с Х означаваме цифра, която може да бъде или 0 или 7, а с __ - място, което може да бъде или празно или, на което могат да стоят седемте последователни осмици.

Разглеждаме два случая.

Първи случай – най-лявата цифра, която не е осмица е 7. Имаме следната конфигурация:
__ 7 __ Х __ Х __ Х __ Х __ Х __ Х __ Х __ Х __ Х __.

В този случай имаме [tex]2^{9}[/tex].11 - 11 = 5621 възможности – за всяко Х имаме две възможности (0 или 7) и седемте последователни осмици могат да бъдат разположени на 11 различни места, като трябва да изключим случаите (общо 11), в които на мястото на Х имаме само седмици.

Втори случай – най-лявата цифра, която не е осмица е 0. Имаме следната конфигурация:
__ 0 Х Х Х Х Х Х Х Х Х.
Седемте осмици могат да бъдат само на едно място (крайно ляво), защото в противен случай първата цифра на числото би била 0.

В този случай имаме [tex]2^{9}[/tex] - 1 = 511 възможности – за всяко Х имаме две възможности (0 или 7) и седемте последователни осмици могат да бъдат разположени само на едно място, като трябва да изключим случая, в който на мястото на Х имаме само нули.

Общо, 5621 + 511 = 6132 възможности.

[Davids]

Wild guess след първите няколко разсъждения по трета задача: отговорът случайно някой също да го е получил нещо като $435 301$ на брой числа? Другояче казано:
$(10.2 + 3).3^9 - (11 + 6).2^{10}$
Ще обяснявам ако не е МНОГО грешно (знам че няма как да е малко или много грешно, ама все пак )

Много грешно е.

Уф, сега виждам, че се иска цифрата осем да се среща ТОЧНО 7 пъти един след друг... Много съм загубен

[KOPMOPAH]

Явно, че първата цифра винаги е $7$
Възможни са следните последователности от цифри:

$7\underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$9$ цифри}} \underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}}$ - общо $2^9$ числа.

$7\underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$8$ цифри}} \underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{x}_{\mbox{$1$ цифра}}$ - общо $2^8.2=2^9$ числа.

$7\underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{xx}_{\mbox{$2$ цифри}}$ - общо $2^7.2^2=2^9$ числа.

$7\underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$6$ цифри}} \underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{xxx}_{\mbox{$3$ цифри}}$ - общо $2^6.2^3=2^9$ числа.

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots $

$7\underbrace{xx}_{\mbox{$2$ цифри}} \underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$7$ цифри}}$ - общо $2^2.2^7=2^9$ числа.

$7\underbrace{x}_{\mbox{$1$ цифра}} \underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$8$ цифри}}$ - общо $2.2^8=2^9$ числа.

$7\underbrace{8 \cdots 8}_{\mbox{$7$ цифри}} \underbrace{x \cdots x}_{\mbox{$9$ цифри}}$ - общо $2^9$ числа.

Окончателно - броят на възможните седемнадесетцифрени числа е $10.2^9=5120$

[Davids]

Явно, че първата цифра винаги е $7$

Защо първата цифра да не е 8 и там да са седемте осмици една след друга?

[KOPMOPAH]

...
Уф, сега виждам, че се иска цифрата осем да се среща ТОЧНО 7 пъти един след друг... Много съм загубен

Не си въобще загубен, а припрян

[KOPMOPAH]

Явно, че първата цифра винаги е $7$

Защо първата цифра да не е 8 и там да са седемте осмици една след друга?

Разбира се, и аз съм припрян

[Hephaestus]

3 задача. И аз получавам 6132 като колегата ABK.
Блокът от седем последователни осмици може да го третираме като само една осмица. Тогава задачата е еквивалентна на това да се намерят всички единадесетцифрени числа, които съдържат точно една 8-ица, а останалите цифри са произволни 0 и 7-ици, като не може да са само нули или само 7-ици.
[tex]I.[/tex] Ако 8-ицата е в началото, за останалите 10 позиции са възможни [tex]2^{10}-2[/tex] варианта (вадим двата случая, в които имаме само 0 или само 7-ици).
[tex]II.[/tex] Ако 8-ицата не е в началото, то задължително числото стартира със 7-ица. Тогава 8-ицата може да е на останалите 10 позиции и след като е фиксирана, за свободните места са налице [tex]2^{9}[/tex] възможности. Но в тази бройка са включени и 10 случая, в които имаме само 7-ици. Следователно тук броят на възможните варианти е [tex]10.2^{9}-10 = 10(2^{9}-1)[/tex].
Окончателно всички възможности са [tex]2^{10}-2+10(2^{9}-1) = 1022 + 5110=6132[/tex].