Кенгурска задачка за разгрявка :D

[Davids]

задачка.png (53.97 KiB) Прегледано 752 пъти

[inveidar]

B). Ще пусна чертеж за подсказка и само ще спомена, че [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{BH}{BQ}[/tex]. [tex]OA[/tex] и [tex]OC[/tex] са излишни.

keng.png (27.13 KiB) Прегледано 743 пъти

[Davids]

Моят подход:
Лесно намираме, че $\angle ATC = 30^{\circ}$
Означаваме $\angle ATM = \alpha$ и тогава $\angle MTC = 30 - \alpha$.
От това, че $\Delta ATC$ е равнобедрен, следва, че $\angle ACT = \angle CAT = 75^{\circ}$.
Правим две синусови теореми за $\Delta AMT$ и $\Delta CMT$, от които извличаме:
$\frac{AM}{sin\alpha} = \frac{MT}{sin75^{\circ}} = \frac{CM}{sin(30 - \alpha)}$
$\Rightarrow \frac{AM}{CM} = \frac{sin\alpha}{sin(30 - \alpha)} = k$, което всъщност и търсим.

От $sinT$ за $\Delta ABC$ изразяваме:
$AB = \sqrt{2}R$
$BC = \sqrt{3}R$

Сега останаха две аналогични синусови теореми за $\Delta ABT$:
$\frac{AB}{sin\alpha} = \frac{BT}{sin135}$

и за $\Delta CBT$:
$\frac{BC}{sin(30 - \alpha)} = \frac{BT}{sin130}$

Делим двете последни синусови теореми почленно и получаваме:
$\frac{BCsin\alpha}{ACsin(30 - \alpha)} = \frac{sin135}{sin120}$

И всъщност $k\frac{\sqrt{3}R}{\sqrt{2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow k = \frac{2}{3}$

[ABK]

“Кенгурско” решение.

ВМ е В – симедиана в триъгълника АВС, откъдето
АМ : СМ = [tex]AB^{2}[/tex] : [tex]BC^{2}[/tex] = [tex]sin^{2}[/tex][tex]45^{o}[/tex] : [tex]sin^{2}[/tex][tex]60^{o}[/tex] = 2 : 3.

[Gruicho]

“Кенгурско” решение.

ВМ е В – симедиана в триъгълника АВС, откъдето
АМ : СМ = [tex]AB^{2}[/tex] : [tex]BC^{2}[/tex] = [tex]sin^{2}[/tex][tex]45^{o}[/tex] : [tex]sin^{2}[/tex][tex]60^{o}[/tex] = 2 : 3.

В кой клас се изучава симедианата че ние още не сме я учили?

[ABK]

В кой клас се изучава симедианата че ние още не сме я учили?

За съжаление нямам никаква идея. Завършил съм средното си образование преди близо 30 год., а професионалните ми занимания не са свързани нито с математиката, нито с учителската професия.

Едно време се състезавах, сега се състезава и моят син и оттам идва интереса ми към състезанията по математика.

[drago]

ВМ е В – симедиана в триъгълника АВС, откъдето
АМ : СМ = [tex]AB^{2}[/tex] : [tex]BC^{2}[/tex] = [tex]sin^{2}[/tex][tex]45^{o}[/tex] : [tex]sin^{2}[/tex][tex]60^{o}[/tex] = 2 : 3.

Да, така е, само една забележка. Това, че $BM$ е симедиана, не е съвсем очевидно и се доказва, пак като се използва няколко пъти синусова теорема, за да докажем накрая, че $AM:CM = AB^2 : BC^2$, от което пък следва, че $BM$ е симедиана.
Т.е. естествения ход на нещата е точно наобратно.
Но понякога в математиката е така.

[inveidar]

Не е задължително да се използва няколко пъти синусова теорема. Може и много по-лесно да се докаже, че е симедиана. Виж Drawing a Symmedian -https://brilliant.org/wiki/symmedian/