Задачи от 59-та МОМ - 2018, Румъния

[inveidar]

2018_bul.pdf

(212.95 KiB) 81 пъти

Ето ви и картинка.

IMO2018problems_bul_1.png (1.03 MiB) Прегледано 673 пъти

Може да си ги разпечатате на един лист.

[georgi111]

Тази 6тата доста прилича на вашите като замисъл … Че и 1вата тъй на пръв поглед

[aifC]

2 Зад.
Разглеждаме случея при [tex]n=3[/tex]:

(1)[tex]ab+1=c[/tex]
(2)[tex]bc+1=a[/tex]
(3)[tex]ca+1=b[/tex]

Поставянето на (1) в (2) ни дава: [tex]b(ab+1)+1=a \rightarrow 1+b = a(1-b^{2})[/tex] и по този начин:[tex]b = -1[/tex] или [tex]a = \frac{1}{1 - b}[/tex]
Ако [tex]b = -1 \implies a + c = 1, ac = -2[/tex], тогава [tex]a= -1; c = 2[/tex]. Разглеждаме възможната последователност:[tex]-1,-1,2,-1,-1,2...[/tex], така всички [tex]3 \mid n[/tex], удоволетворяват. Да отбележим и че: [tex]a_{i}a_{i+1}+1 = a_{i+2} \implies a_{i}a_{i+1}a_{i+2} + a_{i+2} = a^{2}_{i+2}[/tex] както и [tex]a_{i+1}a_{i+2} + 1 = a_{i+3} \implies a_{i}a_{i+1}a_{i+2} + a_{i} = a_{i}a_{i+3}[/tex].Тогава :

[tex]\sum a_{i}a_{i+1}a_{i+2} + \sum a_{i} = \sum a^{2}_{i}[/tex];

[tex]\sum a_{i}a_{i+3} = \sum a^{2}_{i}[/tex];

[tex]\implies \sum a_{i}a_{i+3} \le \sum a^{2}_{i} \rightarrow a_{i} = a_{i+3}[/tex];

[tex]a[/tex] е с период и е с дължина едно от двете [tex]1[/tex] или [tex]3[/tex]. Ako периода е [tex]1[/tex] имаме: [tex]a^{2} + 1 = a[/tex], което не е решимо. При период [tex]3[/tex]: [tex]a_{i} = a_{i+1} = -1, a_{i+2} - 2 \Rightarrow \forall 3 \mid n[/tex];