Две задачки, не много трудни, но ...

[KOPMOPAH]

$1$ задача
Докажете, че уравнението $x^4– 4x^3 + 12x^2 – 24 x +24 = 0$ няма решения.

$2$ задача
Докажете, че съществува уравнение с целочислени коефициенти, чието решение е $\sqrt 3+\sqrt 5$.

[Davids]

Нещо, което бие на очи за първата: производните тенденциозно имат същия вид като предната си функция, само без първия член (най-високата му степен) и с обратни знаци. Т.е. $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24$, а $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 24x - 24$, при което също $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$ . Интересна зависимост, но нямам никаква идея с каква хитринка може да е полезна Така или иначе втората производна корени няма, което означава директно липсата на инфлексни точки, т.е. функцията ще има максимум един екстремум и нещо ме навежда на мисълта, че доказателството ще минава през откриването на единствен корен на първата производна, с което ще намерим единствения локален минимум, който ще е над нулата и така корени няма да има...
П.П. Но си остава напълно възможно решението да е някакво хитро групиране, което ми убягва

[KOPMOPAH]

Нямаш представа колко си прав в последното изречение. Там се крие решението, буквално в рамките на един ред.

[grav]

[tex]x^4-4x^3+12x^2-24x+24=(x^2-2x+6)^2+4x^2+12[/tex]

[tex](x-\sqrt3-\sqrt5)(x+\sqrt3+\sqrt5)(x+\sqrt3-\sqrt5)(x-\sqrt3+\sqrt5)=x^4-16x^2+4[/tex]

[123a]

За първа не може ли да се използват и графики?
Примерно
$f(x)=x^4-4x^3$ и $g(x)=-12x^2+24x-24$ и да се види че двете графики нямат общи точки?

[pal702004]

За първата отделянето и на $(x-1)^4$ и на $(x^2-2x)^2$

решават задачата.

За втората от $x=\sqrt 3+\sqrt 5$ след двукратно повдигане на квадрат се получава търсения полином. grav го е написал.

grav, свободния член в дясната част на 1-ва задача не съвпада. Нещо не е така.

[Knowledge Greedy]

Ето и по-стандартен (силов) подход.

[tex]x^4–4x^3+12x^2–24x+24=0[/tex]

[tex]f(x)=x^4–4x^3+12x^2–24x+24[/tex]
[tex]f'(x)=4x^3–12x^2+24x–24[/tex]
[tex]f''(x)=12x^2–24x+24[/tex]

Явно [tex]f''(x)>0, \,\ \forall x \in \mathbb{R}[/tex]
Следователно [tex]f'(x)[/tex] е монотонно растяща и понеже е непрекъсната, уравнението [tex]f'(x)=0[/tex]
притежава единствен корен [tex]\xi[/tex] със свойствата:

[tex]f'(\xi )=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ 4\xi ^3-4\xi ^2-24\xi +24=0[/tex] и, ... виждаме това число като част от [tex]f(\xi)[/tex]
[tex]f(\xi)=\xi ^4+4\xi ^3-4\xi ^2-24\xi +24[/tex]

Следователно [tex]f(\xi)=\xi ^4+4\xi ^3-4\xi ^2-24\xi +24=\xi ^4+0[/tex]

[tex]f(\xi)=\xi ^4>0[/tex], защото е явно, че [tex]\xi \ne 0[/tex]
След като [tex]f_{min}(x)=f(\xi)=\xi ^4>0[/tex], уравнението [tex]f(x )=0[/tex] няма реални корени.

[Knowledge Greedy]

За първата отделянето и на $(x-1)^4$ и на $(x^2-2x)^2$
решават задачата.

За втората от $x=\sqrt 3+\sqrt 5$ след двукратно повдигане на квадрат се получава търсения полином. grav го е написал.

grav, свободния член в дясната част на 1-ва задача не съвпада. Нещо не е така.

Да означим [tex]\alpha = \sqrt{5}+\sqrt{3}[/tex]
[tex]\beta = \sqrt{5} -\sqrt{3}[/tex].
Съставяме уравнение с корени [tex]\alpha, \beta, (-\alpha)[/tex] и [tex](-\beta)[/tex].
По идеята на pal702004 уравнението с корени [tex]\alpha[/tex] и [tex](-\alpha)[/tex] е [tex]x^2-\alpha^2=0[/tex]
Уравнението с корени [tex]\beta[/tex] и [tex](-\beta)[/tex] е [tex]x^2-\beta^2=0[/tex]
А едно от търсените уравнения - с корени [tex]\alpha, \beta, (-\alpha)[/tex] и [tex](-\beta)[/tex]е [tex](x^2-\alpha^2)(x^2-\beta^2)=0[/tex]
Нормалният вид е [tex]x^4-(\alpha^2+\beta^2)x^2+\alpha^2\beta^2=0[/tex]
И понеже
[tex]\alpha^2=8+2\sqrt{15}[/tex]
[tex]\beta^2=8-2\sqrt{15}[/tex],
горното уравнение е [tex]x^4-16x^2+4=0[/tex]
- както го е предложил grav.

[inveidar]

[tex]x^4-4x^3+12x^2-24x+24=(x^2-2x+6)^2+4x^2+12[/tex]

Това, очевидно, не е вярно!

[Davids]

Ето и по-стандартен (силов) подход.

[tex]x^4–4x^3+12x^2–24x+24=0[/tex]

[tex]f(x)=x^4–4x^3+12x^2–24x+24[/tex]
[tex]f'(x)=4x^3–12x^2+24x–24[/tex]
[tex]f''(x)=12x^2–24x+24[/tex]

Явно [tex]f''(x)>0, \,\ \forall x \in \mathbb{R}[/tex]
Следователно [tex]f'(x)[/tex] е монотонно растяща и понеже е непрекъсната, уравнението [tex]f'(x)=0[/tex]
притежава единствен корен [tex]\xi[/tex] със свойствата:

[tex]f'(\xi )=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ 4\xi ^3-4\xi ^2-24\xi +24=0[/tex] и, ... виждаме това число като част от [tex]f(\xi)[/tex]
[tex]f(\xi)=\xi ^4+4\xi ^3-4\xi ^2-24\xi +24[/tex]

Следователно [tex]f(\xi)=\xi ^4+4\xi ^3-4\xi ^2-24\xi +24=\xi ^4+0[/tex]

[tex]f(\xi)=\xi ^4>0[/tex], защото е явно, че [tex]\xi \ne 0[/tex]
След като [tex]f_{min}(x)=f(\xi)=\xi ^4>0[/tex], уравнението [tex]f(x )=0[/tex] няма реални корени.

Точно това имах предвид горе Благодаря за изразяването му в такъв академичен вид! Значи все пак излезе поленза тенденцията в коефициентите на производните

[inveidar]

[tex]x^4-4x^3+12x^2-24x+24=(x^2-2x+6)^2+4x^2+12[/tex]

Вярното е: [tex]x^4-4x^3+12x^2-24x+24=(x^2-2x+6)^2-4x^2-12[/tex].
Сега да оправим нещата [tex]x^4-4x^3+12x^2-24x+24=(x^2-2x+6)^2-4x^2-12=[/tex]
[tex]=(x^2-2x+6-2x)(x^2-2x+6+2x)-12=((x-2)^2+2)(x^2+6)-12>2.6-12=0[/tex]
Равенство би имало ако [tex]x[/tex] е едновременно 2 и 0, което няма как да се случи .

[inveidar]

Я се пробвайте да докажете, че уравнението
[tex]x^4-6x^3+17x^2-30x+45=0[/tex]
няма решение в реални числа.
Или пък уравнението [tex]x^6-5x^5+9x^4+5x^2-29x+45=0[/tex] също няма решение в реални числа?

[ABK]

Полагаме [tex]x = y +\frac{3}{2}[/tex] за да елиминираме [tex]-6x^{3}[/tex] и след поредица алгебрични манипулации получаваме, че

[tex]x^{4} - 6x^{3} +17x^{2} - 30 x + 45 = y^{4} + \frac{7}{2}(y-\frac{6}{7})^{2} + 20\frac{55}{112} > 0[/tex].

[inveidar]

Полагаме [tex]x = y +\frac{3}{2}[/tex] за да елиминираме [tex]-6x^{3}[/tex] и след поредица алгебрични манипулации получаваме, че

[tex]x^{4} - 6x^{3} +17x^{2} - 30 x + 45 = y^{4} + \frac{7}{2}(y-\frac{6}{7})^{2} + 20\frac{55}{112} > 0[/tex].

Добре, а второто?

[ABK]

Я се пробвайте да докажете, че уравнението
[tex]x^4-6x^3+17x^2-30x+45=0[/tex]
няма решение в реални числа.
Или пък уравнението [tex]x^6-5x^5+9x^4+5x^2-29x+45=0[/tex] също няма решение в реални числа?

Според мен, ако не греша в сметките, второто става с отделяне на точни квадрати.

[tex]x^6-5x^5+9x^4+5x^2-29x+45=x^{4}[(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{11}{4}]+5(x-\frac{29}{10})^{2}+\frac{59}{20}[/tex].

[inveidar]

Или пък уравнението [tex]x^6-5x^5+9x^4+5x^2-29x+45=0[/tex] също няма решение в реални числа?

Ще ви предложа друг начин. Ясно е, че за да има решение, то трябва да е положително число. В противен случай едночлените от нечетна степен стават също неотрицателни, както тези от четната, и лявата страна е, очевидно, положителна. И така, нека [tex]x>0[/tex]. Тогава
[tex]x^6-5x^5+9x^4+5x^2-29x+45=0 \Leftrightarrow x^6-6x^5+9x^4+5x^2-30x+45+x^5+x=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^4(x^2-6x+9)+5(x^2-6x+9)+x^5+x=0 \Leftrightarrow x^4(x-3)^2+5(x-3)^2+x^5+x=0[/tex]. След това е ясно.

[inveidar]

Ще ви предложа друг начин. Ясно е, че за да има решение, то трябва да е положително число. В противен случай едночлените от нечетна степен стават също неотрицателни, както тези от четната, и лявата страна е, очевидно, положителна. И така, нека [tex]x>0[/tex]. Тогава
[tex]x^6-5x^5+9x^4+5x^2-29x+45=0 \Leftrightarrow x^6-6x^5+9x^4+5x^2-30x+45+x^5+x=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^4(x^2-6x+9)+5(x^2-6x+9)+x^5+x=0 \Leftrightarrow x^4(x-3)^2+5(x-3)^2+x^5+x=0[/tex]. След това е ясно.

С тази идея се решава и първото уравнение от темата [tex]x^4-4x^3+12x^2-24x+24=0 \Leftrightarrow x^4-4x^3+4x^2+6x^2-24x+24+2x^2=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2(x-2)^2+6(x-2)^2+2x^2=0 \Leftrightarrow (x-2)^2(x^2+6)+2x^2=0[/tex]

[KOPMOPAH]

Именно, отделянето на точни квадрати е пътят към решението. Сравнително простичко е, а е и по силите на решаващите деветокласници.