Математика без граници

[Цанкова]

[pal702004]

18) Корените трябва да са естествени числа, удовл. системата:

$\begin{cases} x_1+x_2=\alpha\beta\\x_1x_2=\alpha+\beta\end{cases}$

$\alpha\beta \ge \alpha+\beta$, при това равенство се достига само при $\alpha=\beta=2$ - ето го едното решение.

$x_1+x_2>x_1x_2,\;\Rightarrow (x_1-1)(x_2-1)<1$

Значи единият корен задължително трябва да е 1, или $1-\alpha\beta+\alpha+\beta=0$

$(\alpha-1)(\beta-1)=2$

$(2,3)$ - второто решение. Други няма.

[Knowledge Greedy]

Задача 19.
Квадратите са
[tex](2n+1)^2, (2n+2)^2, (2n+3)^2, (2n+4)^2, (2n+5)^2 \,\ и \,\ ...\,\ (3n+1)^2[/tex]
Следователно очакваме
[tex](2n+5)^2=(3n)^2[/tex]
Естествен корен [tex]n=5[/tex]

Задача 4.
И коренът и модулът приемат само неотрицателни стойности.
Ако са положителни (дори едното събираемо), равенство не може да има.
Следователно и двете събираеми са нули.
Това
[tex]\left\{\begin{matrix}
2x+1 = 0 \\
4x^2-1=0
\end{matrix}\right.[/tex]
е възможно единствено при [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex]
и тогава [tex]2x-3=-4[/tex]