Факториелна задачка

[Davids]

Скрит текст: покажи

Задачата далеч не е толкова трудна, но поради минималните изискуеми математически заучености и знания, които са нужди чисто практически за решаването й, е просто невероятна за по-млади (дори малкки) мислещи ентусиасти с немного математически опит, та затова любезно апелирам да им оставим трибуната известно време на първо четене

Иванчо записал на един лист факториелите на естествените числа от 3 до 10 включително. Когато задраскал един от тях, той открил, че произведението от останалите факториели дава точен квадрат на естествено число $n$. Коя е четвъртата цифра на числото $n$ отзад напред?

Аз лично много й се радвам на задачката, та пожелавам приятно решаване и размишляване на който е запален

[Maximianus Herculius]

Простите числа, които участват във въпросните факториели, са [tex]2,3,5[/tex] и [tex]7[/tex]
Да умножим всички тези факториели.
[tex]3!4!5!6!7!8!9!10!=2^{x}.3^{y}.5^{z}.7^{t}[/tex]

[tex]3!=2.3[/tex]
[tex]4!=2^3.3[/tex]
[tex]5!=2^3.3.5[/tex]
[tex]6!=2^4.3^2.5[/tex]
[tex]7!=2^4.3^2.5.7[/tex]
[tex]8!=2^7.3^2.5.7[/tex]
[tex]9!=2^7.3^4.5.7[/tex]
[tex]10!=2^8.3^4.5^2.7[/tex]

Следователно произведението им е [tex]2^{37}.3^{17}.5^7.7^4[/tex]
и
[tex]2^{37}.3^{17}.5^7.7^4=2^{x}.3^{y}.5^{z}.7^{t}[/tex]

Простите делители [tex]2, 3, 5 \,\ и \,\ 7[/tex] трябва да са от четна степен.
Явно [tex]t=4[/tex] (лесно проверяваме, че [tex]t=2[/tex] е невъзможно).

Простите делители [tex]2, 3 \,\ и \,\ 5[/tex] са от нечетна степен едновременно, само в [tex]5![/tex]
Значи Иванчо е задраскал факториела [tex]5![/tex], а произведението на останалите седем различни факториела е квадратът [tex]2^{34}.3^{16}.5^{6}.7^{4}=\left ( 2^{17}.3^{8}.5^{3}.7^{2} \right )^2[/tex]

[ABK]

[tex]3! 4! 5 ! 6! 7! 8! 9! 10! = 3! (3!.4) 5! (5! 6) 7! (7! 8) 9! (9! 10) = (4.6.8.10)(3!5!7!9!)^{2}=2^{4}(2.3.4.5)(3!5!7!9!)^{2}=5!(2^{2}3!5!7!9!)^{2}[/tex]

[tex]n = 2^{2}3!5!7!9![/tex]

[pal702004]

Може би най-простия начин да се намерят степените на простите в произведението на факториалите, без да се използват специфични знания е да се представи като

$2^8\cdot 3^8\cdot 4^7\cdot 5^6\cdot 6^5\cdot 7^4\cdot 8^3\cdot 9^2\cdot 10^1=$

$=2^{8+14+5+9+1}\cdot 3^{8+5+4}\cdot 5^{6+1}\cdot 7^4$

Нататък всичко е ясно, $n=2^{17}\cdot 3^8\cdot 5^3\cdot 7^2$

Само че не се търси $n$, а се търси $\frac{n}{1000}\pmod {10}$

$\frac{n}{1000}=2^{14}\cdot 3^8\cdot 7^2 =6^8\cdot 2^6\cdot 7^2\equiv 6\cdot 4\cdot 9\equiv 6 \pmod{10}$