Теория на числата

[Davids]

Да се намерят всички стойности на естественото число $n$, за които $3^n + n^2$ е точен квадрат от естествено число $p$.

[Добромир Глухаров]

$3^n=(p+n)(p-n)$

$\begin{array}{|l}p+n=3^{n-k}\\p-n=3^k\end{array},k\in\left[0;\left[\frac{n}{2}\right]\right]\Rightarrow p=\frac{3^{n-k}+3^k}{2};n=\frac{3^{n-k}-3^k}{2}$

$3^k(3^{n-2k}-1)=2n\Rightarrow 3^k|n;n\geq3^k$

$k=0\Rightarrow\fbox{n=1}$
$k=1\Rightarrow\fbox{n=3}$

$k\geq2\Rightarrow3^k>2k+1\Rightarrow3^k-k>k+1\Rightarrow3^{3^k-k}>3^{k+1}=3.3^k$
$\Rightarrow3^{3^k-k}-3^k>2.3^k\Rightarrow3^{n-k}-3^k>2n$ - няма решение.

Следователно са възможни само две стойности за $n$ - $n=1$ и $n=3$.

[ptj]

...
$\Rightarrow3^{3^k-k}-3^k>2.3^k\Rightarrow3^{n-k}-3^k>2n$ - няма решение.

...

Възможно ли е да обясниш малко по-подробно "следствието".

[Добромир Глухаров]

...
$\Rightarrow3^{3^k-k}-3^k>2.3^k\Rightarrow3^{n-k}-3^k>2n$ - няма решение.

...

Възможно ли е да обясниш малко по-подробно "следствието".

За $n=3^k$ е, надявам се, ясно. Но $n$ не може да бъде по-малко от $3^k$, тъй като $3^k|n$ и $n>0$. А за $n>3^k$ лявата страна $3^{n-k}-3^k$ расте по-бързо от дясната $2n$ - експоненциалната функция расте по-бързо от линейната.

А под "няма решение" се разбира, че за $k\geq2\Rightarrow\nexists n\in\mathbb{N},3^k(3^{n-2k}-1)=2n$