Задача с делимост на 19

[ins-]

Да се докаже, че ако [tex]n[/tex] е естествено число, то [tex]2^{n+2}.5^{2n+1}+2^{2n+1}.3^{n+2}[/tex] се дели на [tex]19[/tex] за всяко [tex]n[/tex].

[KOPMOPAH]

Допускам, че има и по-кратко решение.
Аз ще използвам добрата стара пълна математическа индукция.

При $n=1$ изразът $$A_1=2^{3}.5^{3}+2^{3}.3^{3}=8.125+8.27=1216=64.19$$ безспорно се дели на $19$

Приемаме, че $$A_n=2^{n+2}.5^{2n+1}+2^{2n+1}.3^{n+2}$$ се дели на $19$ за всяко $n$.

Тогава за $$A_{n+1}=2^{(n+1)+2}.5^{2(n+1)+1}+2^{2(n+1)+1}.3^{(n+1)+2}$$ след преобразуване $$
A_{n+1}=2.2^{n+2}.5^2.5^{2n+1}+4.2^{2n+1}.3.3^{n+2}=\\
=50.2^{n+2}.5^{2n+1}+12.2^{2n+1}.3^{n+2}=\\
=38.2^{n+2}.5^{2n+1}+12.2^{n+2}.5^{2n+1}+12.2^{2n+1}.3^{n+2}=\\
=38.2^{n+2}.5^{2n+1}+12(2^{n+2}.5^{2n+1}+2^{2n+1}.3^{n+2})=\\
=38.2^{n+2}.5^{2n+1}+12.A_n$$ се вижда, че и двете събираеми се делят на $19$

[Davids]

Аз бих предложил едно хибридно решение, че да си улесним живота значително с индукцията Първо ще приведем израза във вида:
$$A = 2^{n+2}.5^{2n + 1} + 2^{2n + 1}.3^{n + 2} =$$$$= 4.2^n.5.5^{2n} + 2.2^{2n}.9.3^n =$$$$= 20.2^n.5^{2n} + 18.2^{2n}.3^n$$
$$\Rightarrow A = 19(2^n.5^{2n} + 3^n.2^{2n}) + 2^n.5^{2n} - 3^n.2^{2n}=$$$$=19(2^n.5^{2n} + 3^n.2^{2n}) + 2^n(5^{2n} - 6^n)$$

Сега вече изглежда по-приятно. Първото събираемо отявлено се дели на 19, първият множител от второто събираемо отявлено пък не се дели и остава да докажем, че $5^{2n} - 6^n$ се дели на 19 за всяко $n$. Палим индукцията и газ:
I) за $n = 1 \Rightarrow 25 - 6 = 19$ се дели на 19 и всичко е ок;
II) допускаме, че $5^{2k} - 6^k$ се дели на 19 за $n = k$;
III) проверяваме за $n = k + 1$:
$\Rightarrow$$$ 5^{2(k + 1)} - 6^{k + 1} =$$$$= 25.5^{2k} - 6.6^k =$$$$= 19.5^{2k} + 6(5^{2k} - 6^k)$$
Първото събираемо се дели на 19 заради множителя си 19, а второто - заради индукционното допускане като множител. И с това делимостта на израза е доказана

[KOPMOPAH]

Като ще си улесняваме живота без индукция, трябва да се сетим, че $$5^{2n}-6^n=25^n-6^n=(25-6)(25^{n-1}+25^{n-2}.6+25^{n-3}.6^2+\cdots+25^2.6^{n-3}+25.6^{n-2}+6^{n-1})=\\=19.( 25^{n-1}+25^{n-2}.6+25^{n-3}.6^2+\cdots+25^2.6^{n-3}+25.6^{n-2}+6^{n-1})$$

[Davids]

Да се сетим, ако знаем, ама който е докретал само до 12. клас в езиковата с математиката, много неща има още да учи, които не е имал честта активно така да срещне в свободните си занимания с изкуството Та и аз така - не се пиша вещ, а заинтересован, ерго благодаря изключително много за осенението има ли си име туй преобразувание или някой конкретен сектор от „теорията на числата“, който да си поразгледам?

[S.B.]

Да се сетим, ако знаем, ама който е докретал само до 12. клас в езиковата с математиката, много неща има още да учи, които не е имал честта активно така да срещне в свободните си занимания с изкуството Та и аз така - не се пиша вещ, а заинтересован, ерго благодаря изключително много за осенението има ли си име туй преобразувание или някой комкретен сектор от „теорията на числата“, който да си поразгледам?

Това е формула,Davids,която стои кротко във всеки математически справочник:
[tex]a^{n} - b^{n} = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b +......+ ab^{n - 2} + b^{n - 1})[/tex] за [tex]\forall n \in N[/tex]

[ins-]

Задачата е от стара олимпиада за 8-ми клас. Но се решава с методи, които в много училища се изучават след 8-ми клас. Затова я пуснах в раздела за 9-12 клас.

[KOPMOPAH]

Учудващо е, че тази формула не се изучава сега (в езиковите гимназии)
Математик като тебе, Davids, трябва веднага да види, че изразът $$a^{n - 1} + a^{n - 2}b +......+ ab^{n - 2} + b^{n - 1}$$ си е една геометрическа прогресия и сумата й е $$ \frac{a^n-b^n}{a-b}$$ откъдето следва
$$a^{n} - b^{n} = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b +......+ ab^{n - 2} + b^{n - 1})\; \forall n \in N$$

[Genie_Almo]

Да се докаже, че ако [tex]n[/tex] е естествено число, то [tex]2^{n+2}.5^{2n+1}+2^{2n+1}.3^{n+2}[/tex] се дели на [tex]19[/tex] за всяко [tex]n[/tex].

[tex]2^{n+2}.5^{2n+1}+2^{2n+1}.3^{n+2} = 4.2^{n}.5.25^{n}+2.4^{n}.9.3^{n} = 20.50^{n}+18.12^{n} = 19.(50^{n}+12^{n}) + 50^{n}-12^{n} = 19.(50^{n}+12^{n}) + (50-12).\sum_{k=1}^{n }50^{n-k}12^{k-1} = 19.(50^{n}+12^{n}+2.\sum_{k=1}^{n }50^{n-k}12^{k-1})[/tex]

Иначе тази геометрична прогресия, доколкото си спомням, едно време се изучаваше и като формула за съкратено умножение някъде в 7-ми или 8-ми клас.

[ins-]

Иначе тази геометрична прогресия, доколкото си спомням, едно време се изучаваше и като формула за съкратено умножение някъде в 7-ми или 8-ми клас.

Зависи кое време е "едно време" и в какъв вид училище се е изучавала. В СОУ преди 23 години се изучаваше в 9-ти клас.