Точен квадрат

[KOPMOPAH]

Да се докаже, че всички числа от вида $$1156, 111556,\; ...,\;\;\;\underbrace{11...1}_{n+1}\underbrace{55...5}_{n}6$$ са точни квадрати.

[Davids]

Не знам доколко е издържан следния похват и докъде точно стига релевантността на `математическата хрумка`, но ми се струва най-близко до акъла Та, да започваме...
Първо, числата от този тип представяме като заместим въпросните серии по $n$ и $n+1$ цифри с израз за сума на геометрична прогресия с частно 10:
$A = 6 + 5.10.\frac{10^n-1}{10 - 1} + 10^{n + 1}.\frac{10^{n + 1} - 1}{10 - 1} = ... = 6 + 10.\frac{10^n-1}{9}\big( 5 + 10^n \big) + 10^{2n + 1}$ е общият вид на едно такова число.

Сега, на базата на търсения точен квадрат от естественото число $p$ и цикличната зависимост в образуването на числата от типа $A$, проверяваме, че при $n = 1, 2, 3$... имаме $p = 34, 334, 3334, ..., \underbrace{33...3}_{n}4$ и на въз основа това наблюдение допускаме, че всяко число $A = \big( 3.10.\frac{10^n - 1}{9} + 4 \big)^2 = ... = \frac{100}{9}(10^{2n} - 2.10^n + 1) + \frac{80}{3}(10^n - 1) + 16$

Остава да докажем това тъждество:
$6 + 10.\frac{10^n-1}{9}\big( 5 + 10^n \big) + 10^{2n + 1} = \frac{100}{9}(10^{2n} - 2.10^n + 1) + \frac{80}{3}(10^n - 1) + 16$

Извършваме възможните аритметични действия между двете страни, делим ги на 10 и освобождаваме от знаменател, достигайки до:
$(10^n - 1)(10^n + 5) + 9.10^{2n} = 10(10^{2n} - 2.10^n + 1) + 24(10^n - 1) + 9$

Разкриваме скобите и извършваме действията:
$10^{2n} + 4.10^n + 5 + 9.10^{2n} = 10.10^{2n} - 20.10^n + 10 + 24.10^n - 24 + 9$

След масово аритметичене и съкращаване излиза $0 = 0$, с което тъждеството е доказано, а оттам и задачата е решена Само не знам дали математиката 'позволява' такъв тип подход с изграждане на допускане, базирано на наблюдение, но ми се струва издържано.. надявам се

[pal702004]

Само не знам дали математиката 'позволява' такъв тип подход с изграждане на допускане, базирано на наблюдение, но ми се струва издържано.. надявам се

Разбира се, стига да е доказано.
Друг начин
$\underbrace{11111...1}_{2n}+\underbrace{44...4}_n+1=\frac{10^{2n}-1}{9}+4\cdot\frac{10^n-1}{9}+1=$

$=\frac{10^{2n}+4\cdot 10^n+4}{9}=\left(\frac{10^n+2}{3}\right)^2$