Прогресии - една аритметична и една геометрична

[KOPMOPAH]

Дадени са аритметична прогресия $$a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4$$ и геометрична $$b_1,\, b_2,\,b_3,\, b_4$$ за които е известно, че $$\begin{array}{|l}
a_1+b_1= 27 \\ a_2+b_2= 27 \\ a_3+b_3= 39 \\ a_4+b_4= 87 \end{array}$$
Да се намерят членовете на прогресиите.

[S.B.]

Нека аритметичната прогресия е : [tex]a,a + d , a + 2d , a + 3d[/tex] ,а геометричната прогресия е:[tex]b , bq , bq^{2} , bq^{3}[/tex] ,
Д.С.: [tex]d \ne 0 , q \ne 1[/tex];
[tex]\begin{array}{|l}a_{1 } + b_{1 } = 27 \\a_{2 } + b_{2 } = 27 \\a_{3 } + b_{3 } = 39 \\a_{4 } + b_{4 } = 87 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + b = 27 \\ a + d + bq = 27 \\a + 2d + bq^{2} = 39 \\a + 3d + bq^{3} = 87 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}a = 27 - b \\ 27 - b + d + bq = 27 \\27 - b + 2d + bq^{2} = 39 \\27 - b + 3d + bq^{3} = 87 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}- b + bq + d = 0 \\ - b + bq^{2} + 2d = 12 \\ - b + bq^{3} + 3d = 60 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} b(q - 1) = - d \\ b(q^{2} - 1) = 12 - 2d \\ b(q^{3} - 1) = 60 - 3d \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} b(q - 1) = - d \\ b(q - 1)(q + 1) = 12 - 2d \\ b(q - 1)(q^{2} + q + 1) 60 - 3d \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} - d(q + 1) = 12 -2d \\ - d(q^{2} + q + 1) = 60 - 3d\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2d - d(q + 1) = 12 \\ 3d - d(q^{2} + q + 1) = 60 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} d(1 - q) = 12 \\ d(2 - q^{2} - q) = 60 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}d = \frac{12}{1 - q} \\ d = \frac{60}{2 - q^{2} - q} \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{12}{1 - q} = \frac{60}{2 - q - q^{2}} \Leftrightarrow q^{2} - 4q + 3 = 0[/tex] с корени [tex]q_{1 } = 1 \notin Д.С. , q_{2 } = 3 \in Д.С.[/tex]
[tex]q = 3, d = \frac{12}{1 - q} = \frac{12}{1 - 3} = - 6[/tex], [tex]b = \frac{- d}{q - 1} = \frac{6}{3 - 1} = 3 , a = 27 - b = 27 - 3 = 24[/tex]
Получихме за аритметичната прогресия :[tex]a = 24 , d = - 6[/tex] и членовете на прогресията са :[tex]24 , 18 , 12 , 6[/tex]
Получихме за геометричната прогресия :[tex]b = 3 , q = 3[/tex] и членовете на прогресията са : [tex]3 , 9 , 27 ,81[/tex]

[Петър Евгениев]

Като написа [tex]d\ne0, q\ne1[/tex] се сетих, че като бях на олимпиада веднъж не ми дадоха пълен брой точки на една геометрична прогресия, защото не съм разгледал случай с [tex]q=1[/tex], сладури

[pal702004]

От свойството $a_1+a_3=2a_2$ получаваме (събираме първото и третото и изваждаме удвоеното второ)

$b_1+b_3-2b_2=27+39-2\cdot 27$ или

$b(q-1)^2=12$

Аналогично с другата тройка, получаваме

$bq(q-1)^2=36$

Откъдето $q=3$, откъдето $b=3$ и т.н.

Значи не е проблем да се реши и в общ вид - с параметри в десните части.