Квадрат, запълнен с 1 и -1

[KOPMOPAH]

Във всяка клетка на квадратна таблица $25\times25$ е записано или числото $1$, или числото $-1$.
Под всеки стълб е изчислено произведението на всички числа, намиращи се в него. Вдясно на всеки ред е изчислено произведението на всички числа, намиращи се в него.

Да се докаже, че сумата на тези $50$ произведения не може да е равна на $0$

[Добромир Глухаров]

Да започнем например с таблица от единици. В произведенията имаме 50 единици - 50 е четно, на не се дели на 4. Също разликата между броя на положителните и отрицателните произведения е 50. Ако една единица от таблицата си обърне знака, две от произведенията ще си обърнат знака - тези в нейните ред и колона. Положителните произведения намаляват с 2, а отрицателните нарастват с 2. Разликата между броя на положителните и отрицателни произведения намалява с 4. Изобщо при всяко обръщане на знака на някоя единица от таблицата сумата от произведенията се променя с 4. А с такава операция, достатъчно пъти приложена, можем да достигнем до всяка мислима таблица от единици и минус единици. Следователно сумата от произведения никога не може да стане 0 - няма такава подредба на единици и минус единици в таблица 25х25.

[ptj]

Нека таблицата е запълнена първоначално само с 1-ци. Добавянето на произволна (-1)-ца променя знака на произведенията в един ред и един стълб , т.е. запазва четността на 1-те и (-1) в общия брой на на произведенията по стълбове и по редове. В таблица 25х25 има 25 реда и 25 стълба и единствения вариант за сумата от произведенията в тях да е нула е да има 25 единици и 25 минус единици, което е в противоречие с забязаната вече четност.

П.П. 0-лата е четно число, а тя съответства на броя на произведенията сред редове и стълбове равни на (-1), при таблица съдържаща само 1-ци.