И пак триъгълници и окръжности

[KOPMOPAH]

Центърът на окръжността, минаваща през средите на всички страни на триъгълник $\triangle ABC$, лежи на бисектрисата на $\measuredangle C$. Да се намери страната $AB$, ако $BC = a$, $AC = b$, $a\ne b$.

[KOPMOPAH]

Аз получих отговор

Скрит текст: покажи

$AB=\sqrt {a^2-ab+b^2}$

[KOPMOPAH]

... за тези, на които е интересна задачата

Окръжност през среди.png (4.69 KiB) Прегледано 439 пъти

[KOPMOPAH]

Окръжност през среди с допълнителни построения.png (7.05 KiB) Прегледано 439 пъти

... с допълнителни построения

[KOPMOPAH]

Окръжност през среди с допълнителни построения.png (7.47 KiB) Прегледано 420 пъти

Решение:
- доказва се еднаквостта на $\triangle CGH$ и $\triangle CGD$, откъдето следва, че $CH=CD=\frac a2$;
- $FD$ e средна отсечка, трапецът $FDHE$ е равнобедрен (основите са му успоредните хорди), диагоналите му са равни, $FH=DE=\frac c2$;
- от косинусова теорема имаме $\cos \alpha =\frac {b^2+c^2-a^2}{2bc}$;
- $AH=AC-CH=b-\frac a2$;
- прилагаме косинусова теорема за $\triangle AFH$, чиито страни са съответно $AH=b-\frac a2$, $AF=\frac c2$ и $FH=\frac c2$ $$\frac {c^2}4=\frac {c^2}4+\left(b-\frac a2\right)^2-2.\frac c2.\frac {b^2+c^2-a^2}{2bc},$$ откъдето след извършване на действията се получава $$c=\sqrt{a^2-ab+b^2}$$