И пак обратни тригонометрични функции

[KOPMOPAH]

Да се докаже, че числата на Фибоначи $ F_{n}$ удовлетворяват равенството $$\operatorname{arcctg}{\left (F_{2n} \right )} -\operatorname{arcctg}{\left (F_{2n+2} \right )}= \operatorname{arcctg}{\left (F_{2n+1} \right )}.$$ С помощта на горното да се докаже, че: $$ \operatorname{arcctg}{\left (2 \right )} +\operatorname{arcctg}{\left (5 \right )}+\operatorname{arcctg}{\left (13 \right )}+\cdots+ \operatorname{arcctg}{\left (F_{2n+1} \right )}+\cdots=\frac {\pi}4$$

[Добромир Глухаров]

$ctg(\alpha-\beta)=\frac{1}{tg(\alpha-\beta)}=\frac{1+tg\alpha.tg\beta}{tg\alpha-tg\beta}=\frac{ctg\alpha.ctg\beta+1}{ctg\beta-ctg\alpha}$

$\alpha-\beta=arcctg\frac{ctg\alpha.ctg\beta+1}{ctg\beta-ctg\alpha}$

$arcctg(a)-arcctg(b)=arcctg\frac{a.b+1}{b-a}$

$arcctg(F_{2n})-arcctg(F_{2n+2})=arcctg\frac{F_{2n}.F_{2n+2}+1}{F_{2n+2}-F_{2n}}$

Тъждество на Cassini: $F_{n-1}.F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n\Rightarrow F_{2n}.F_{2n+2}-F_{2n+1}^2=-1\Rightarrow F_{2n}.F_{2n+2}+1=F_{2n+1}^2$

От друга страна за знаменателя получаваме $F_{2n+2}-F_{2n}=F_{2n+1}$

$\Rightarrow arcctg(F_{2n})-arcctg(F_{2n+2})=arcctg(F_{2n+1})$

За сумата вече е лесно:

$arcctg(2)+arcctg(5)+arcctg(13)+arcctg(34)+\cdots+arcctg(F_{2n+1})+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}arcctg(F_{2n+1})=\sum_{n=1}^{\infty}(arcctg(F_{2n})-arcctg(F_{2n+2}))=arcctg(F_2)-arcctg(F_{\infty})=arcctg1-arcctg(+\infty)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$