Задача, посветена на отиващата си година

[KOPMOPAH]

Да се намери на колко е равен изразът $A=a^{2018}+\frac 1{a^{2018}}$, ако $a^2-a+1=0$

[pal702004]

Понеже $a_1^n+\frac{1}{a_1^n}=a_1^n+a_2^n$ то тази задача съвпада с тази. Разбира се, годината е различна

[Anubis]

Тригонометричният вид на корените е [tex]a_{1,2} = \cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3}[/tex]. По формулата на Моавър при [tex]n = 2018[/tex] за [tex]a = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}[/tex] имаме

[tex]a^{2018} = \cos \frac{2018 \pi}{3} + i \sin \frac{2018 \pi}{3} = \cos \left ( 672\pi + \frac{2\pi}{3} \right ) + i
\sin \left ( 672\pi + \frac{2\pi}{3} \right ) = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

и [tex]\frac{1}{a^{2018}} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a^{2018} + \frac{1}{a^{2018}} = -1[/tex].

[KOPMOPAH]

Би могло да се приеме, че колегата pal702004 е прав и в по-широкия смисъл на думата задачата "съвпада" с тази и би могла да се реши по начина, посочен от него тук.

Ще ви предложа и друго решение.

Щом $a^2-a+1=0$, значи $(a+1)(a^2-a+1)=0$, откъдето $a^3+1=0\Rightarrow a^3=-1$. В същото време $a \ne 0$, следователно разделяйки равенството $a^2-a+1=0$ на $a$ получаваме $a+\frac 1a=1\ \ \ \ (1)$
Доколкото $a^{2018}=\frac{a^{2019}}a=\frac{(a^3)^{673}}a=\frac{(-1)^{673}}a=-\frac 1a$, аналогично $\frac 1{a^{2018}}=\cdots=-a$ то първоначалният израз $A$ може да бъде представен като $A=-a-\frac 1a$ и имайки предвид равенство $(1)$ получаваме окончателния отговор $A=-1$