Стара задача (кладенец и пръти)

[ptj]

четириъгълник [tex]ABCD[/tex]

[tex]\angle{DAB}=\angle{CBA}=90^\circ[/tex]

[tex]AC=2m[/tex]

[tex]BD=3m[/tex]

[tex]AC\cap BD=\{т.O\}[/tex]

[tex]H\in AB , OH\bot AB[/tex]

[tex]OH=1m[/tex]

Да се намери дължината на [tex]AB[/tex].

[Davids]

Kladenec.png (8.55 KiB) Прегледано 631 пъти

В общи линии следната идея:
От две Питагорови теореми за $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$ изкарваме следната система:
[tex]\begin{array}{|l} a^2 + x^2 = 4 \\ b^2 + x^2 = 9 \end{array}[/tex]

От подобието $\triangle AHO \sim \triangle ABC$ имаме $\frac{1}{a} = \frac{AH}{AB}$. Аналогично от $\triangle BHO \sim \triangle BAD \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{BH}{AB}$. Следователно $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{AH}{AB} + \frac{BH}{AB} = 1$, откъдето $a = \frac{b}{b - 1}$

Заместваме в системата и всичко се свежда до решаването й:
$\begin{array}{|l} \frac{b^2}{(b-1)^2} + x^2 = 4 \\ b^2 + x^2 = 9 \end{array}$

Решаваме:
$\frac{b^2}{(b-1)^2} + x^2 = 4$
$\frac{b^2}{(b-1)^2} = b^2 - 5$
$(b^2 - 5)(b^2 - 2b + 1) - b^2 = 0$
$b^4 - 2b^3 - 5b^2 + 10b - 5 = 0$

Което има два реални корена, но нямам никаква идея как да го реша...

[ptj]

Браво, макар че имаш малка техническа грешка в уравнението от 4-та степен. Коефициента пред [tex]b[/tex] e [tex]+10[/tex].

https://www.wolframalpha.com/input/?i=b%5E2%2F(b-1)%5E2%3Db%5E2-5

[Davids]

Браво, макар че имаш малка техническа грешка в уравнението от 4-та степен. Коефициента пред [tex]b[/tex] e [tex]+10[/tex].

https://www.wolframalpha.com/input/?i=b%5E2%2F(b-1)%5E2%3Db%5E2-5

Вярно, поправена е! Грешка при пренасянето де, всичко друго казано важи

[KOPMOPAH]

Задачата е наистина много стара. Понеже колегата ptj е бил безкрайно лаконичен във формулирането на задачата, което у някои непосветени би довело до въпроса за какъв кладенец и какви пръти става дума, ще си позволя малка историческа справка, непретендираща за изчерпателност, тъй като се основава на материали от Интернет.

Задачата в древността е известна като "Задачата на фараона" или "Кладенеца на лотоса". Според някои източници е била формулирована в 8 век пр.н.е. Счита се, че тя е прародител на великите задачи на древността - трисекцията на ъгъла, удвояването на куба (задачата на оракула от Делфи) и квадратурата на кръга.

Съвременната формулировка на задачата звучи примерно така: В кладенец са спуснати две дървета с дължина $2$ и $3$ метра, така че да се пресичат. Разстоянието от точката на пресичане до дъното е $1$ метър. Да се намери диаметърът на кладенеца.

Задачата се свежда до намирането на положителния корен на уравнението $$\frac{1}{\sqrt{9-d^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-d^2}}=1$$
Чрез заместване, понижаващо степента (напр. $d^2=t+6{,}5$ уравнението се преобразува в уравнение от четвърта степен (както е получил и Davids) което се решава, например, по метода на Кардано.