подобни триъгълници

[Фати00]

x_{1 }x_{1 }x_{1 }Триъгълниците ABC и Ax_{1 }[tex][/tex]Bx_{1 }[tex][/tex]Cx_{1 }[tex][/tex] са подобни. Периметрите им се отнасят както 3:2. Намерете:
а) височините h и hx_{1 }[tex][/tex] при върховете A и Ax_{1 }[tex][/tex] на двата триъгълника, ако h + hx_{1 }[tex][/tex]= 20;
б) медианите m и mx_{1 }[tex][/tex] към страните BC и Bx_{1 }Cx_{1 }[tex][/tex] на двата триъгълника, ако m² + mx_{1 }[tex][/tex]²=52

[Фати00]

Триъгълниците ABC и A¹B¹C¹ са подобни. Периметрите им се отнасят както 3:2. Намерете:
а) височините h и h¹ при върховете A и A¹ на двата триъгълника, ако h + h¹= 20;
б) медианите m и m¹ към страните BC и B¹C¹ на двата триъгълника, ако m² + m1²=52

[S.B.]

Триъгълниците ABC и A¹B¹C¹ са подобни. Периметрите им се отнасят както 3:2. Намерете:
а) височините h и h¹ при върховете A и A¹ на двата триъгълника, ако h + h¹= 20;
б) медианите m и m¹ към страните BC и B¹C¹ на двата триъгълника, ако m² + m1²=52

Ако [tex]\triangle ABC \approx \triangle A'B'C' и \frac{P_{ABC }}{P_{A'B'C' }} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{h}{h'}= \frac{3}{2} , \frac{m}{m'} = \frac{3}{2}[/tex]
а)[tex]\begin{array}{|l} \frac{h}{h'} = \frac{3}{2} \\ h + h'= 20 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h = \frac{3h'}{2} \\ \frac{3h'}{2} + h' = 20 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h = \frac{3h'}{2} \\ 5h' = 40 \end{array} \Rightarrow h' = 8,h = 12[/tex]
б)[tex]\begin{array}{|l}\frac{m}{m'} = \frac{3}{2} \\ m^{2} + (m')^{2} = 52 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m = \frac{3m'}{2} \\\frac{(3m')^{2}}{2^{2}} + (m')^{2} = 52 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m = \frac{3m'}{2} \\13(m')^{2} = 208 \end{array} \Rightarrow (m')^{2} = 16 \Rightarrow m' = 4 , m = 6[/tex]

[Фати00]

В остроъгълен триъгълник ABC е вписан квадрат MNPQ така, че M и N лежат на AB, а P и Q - съответно на BC и AC. Намерете страната на квадрата ако AB = a и височината през върха C е h.

[S.B.]

Вписан квадрат в триъгълник

Untitled (20).png (351.9 KiB) Прегледано 895 пъти

В остроъгълен триъгълник ABC е вписан квадрат MNPQ така, че M и N лежат на AB, а P и Q - съответно на BC и AC. Намерете страната на квадрата ако AB = a и височината през върха C е h.

[tex]\triangle ACD, AC = a, DI \bot AB , DI = h[/tex] , квадрат [tex]EFGH[/tex] със страна [tex]x[/tex]
[tex]\triangle ACD \approx \triangle HGD \Rightarrow \frac{AB}{GH} = \frac{DI}{DG} \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{h}{h - x} \Leftrightarrow ah - ax = hx \Leftrightarrow x(a + h) = ah[/tex] от където [tex]x = \frac{ah}{a + h}[/tex]