Меню
- 3. Задача.png (11.54 KiB) Прегледано 635 пъти
Имам идея, но ми накъсява аналитичната геометрия, за да я осъществя на езика на математиката... И стигам до половината.
- Чертеж.png (31.96 KiB) Прегледано 635 пъти
Нека $l \equiv AL$, всичко друго е, смятам, интуитивно по чертежа
Фиксираната точка ни е $F$, като нейното разположение зависи само от наклона на $AL$ и от абсцисната координата на точката $B$. Нека кажем, че имаме $l = ax$ и $B(b; 0)$.
Тогава уравнението на $AK: y = -ax$ (защото са перпендикулярни)
Реално това, което ни променя окръжността, е дължината на нейния радиус $r$, който също ще приемем за параметър (но ще търсим накрая той да не играе роля при дефинирането на точката $F$).
За окръжността $k$ знаем, че $r^2 = (x - O_x)^2 + (y - O_y)^2$. Паралелно с това, на тази окръжност лежи и началото на координатната система $A(0; 0)$, следователно $r^2 = O_x^2 + O_y^2$. Но също и центърът на окръжността лежи на $АK$, така че можем да заместим $O_y = -aO_x$. И така получаваме:
$r^2 = O_x^2 + a^2O_x^2$
$\Rightarrow O_x = \frac{r}{\sqrt{1 + a^2}}$
$\Rightarrow O_y = -\frac{ar}{\sqrt{1 + a^2}}$
И така вече можем да си дефинираме функцията на окръжността:
$\cancel{r^2} = (x - O_x)^2 + (y - O_y)^2 = x^2 - 2xO_x + \cancel{O_x^2} + y^2 - 2yO_y + \cancel{O_y^2}$
$x^2 + y^2 = 2(O_x + O_y) = \frac{2r}{\sqrt{1 + a^2}}(x + ay)$
Така, сега остава да намерим фунцкиите на допирателните $BC$ и $BD$ към тази окръжност. Нека приемем за общ вид на допирателните $y = kx + q$. И двете минават през $B$, оттам и $kb + q = 0 \Rightarrow q = -bk$ и функциите ни придобиват вида $y = kx - bk = k(x - b)$.
Заместваме във общата формула на окръжността и ще търсим единствен корен на полученото квадратно уравнение, който ще ни доведе до занулена дискриминанта под формата на квадратно уравнение за $k$, откъдето на свой ред ще си вземем коефициентите на двете допирателни, а замествайки и двете стойности на $x$. Оттам вече и ординатите са лесни. Веднъж получили координатите на двете допирни точки, лесно можем да дефинираме правата през тях и да търсим за коя стойност на $x$ ще изпадне параметъра $r$ от функцията на правата. С това ще докажем наличието на фиксираната точка, независеща от $r$, върху правата през двете допирни точки... Проблемът е само че се спъвам именно тук, докъдето съм описал решението, понеже след като заместя, уравнението придобива меко казано отвратителен вид.. И се чудя просто дали няма някакъв по-интуитивен достъпен начин? Благодаря за идеите предварително
Но помагат и на тези, които не искат да ги гледат.