Сечение на куб.

[Петър Евгениев]

Равнината [tex]\lambda[/tex] минава през върха [tex]B[/tex] на куба [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] , през средата на ръба [tex]AD[/tex] и през пресечната точка на диагоналите в стената [tex]DCC_{1}D_{1}[/tex]. Намерете отношението на обемите на получените две части на куба.

[KOPMOPAH]

Сечение на куб.png (14.49 KiB) Прегледано 485 пъти

Като начало ...

Скрит текст: покажи

Получих напълно нормалното за Коледа съотношение $7:29$

[Nathi123]

Построение на сечението : Нека АМ = MD ; [tex]DC_{1 }\cap CD_{1 }=O ; BM\cap CD=X_{1 }; X_{1 }O\cap DD_{1 }=N; X_{1 }O\cap CC_{1 }=P \Rightarrow[/tex] MBPN-търсеното сечение. Ще намерим обема на тялото под сечението. Ако АВ = х ,то обемът на куба е [tex]V=x^{3}[/tex].
Да означим обема на тялото под сечението с [tex]V_{1 }\Rightarrow V_{1 }=V'- V''[/tex] където V' e обемът на пирамидата [tex]BPCX_{1 }[/tex] с основа правоъг. триъг. ВСР и височина [tex]CX_{1 }; \triangle DX_{1 }M\cong \triangle ABM\Rightarrow DX_{1 }=AB=x\Rightarrow CX_{1 }=2x;[/tex]
[tex]\triangle DNX_{1 }\approx \triangle X_{1 }CP\Rightarrow \frac{DN}{CP}=\frac{X_{1 }D}{X_{1 }C}=\frac{1}{2};\triangle ODN\cong \triangle OPC_{1 }\Rightarrow ND=PC_{1 }\Rightarrow CP=\frac{2x}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow V'=\frac{x.2x.2x}{3.2.3}=\frac{2x^{3}}{9} ;[/tex] V'' e обемът на пирамидата [tex]MDNX_{1 }\Rightarrow V'' = \frac{x^{3}}{36}\Rightarrow V_{1 }=\frac{2x^{3}}{9}-\frac{x^{3}}{36}=\frac{7x^{3}}{36}[/tex]
Тогава обемът на тялото над сечението [tex]V_{2 }=V-V_{1 }=x^{3}-\frac{7x^{3}}{36}=\frac{29x^{3}}{36}[/tex] т.е търсеното отношение е 7:29 .