Система

[Петър Евгениев]

[tex]A)[/tex] Да се реши системата уравнения [tex]\begin{array}{|l} (2^{x}+1)2^{y+1}=9 \\ \sqrt{x+y^{2}}=x+y \end{array}[/tex]
[tex]Б)[/tex] Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението [tex]sin2x-2\sqrt{2}a(sinx-cosx)+1-4a=0[/tex] има решение в интервала [tex]\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right][/tex]

[123a]

2. Полагаме $sinx-cosx=y$ и повдигаме на втора и получаваме $sin2x=1-y^2$

Когато [tex]x=\frac{\pi}{4}=>y=0[/tex], а когато [tex]x=\frac{\pi}{2}=>y=1[/tex]

Задачата се свежда до това да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението

$y^2+2\sqrt{2}a.y-2+4a=0$ има решение в интервала $[0;1]$

[Davids]

1. Хващаме второто уравнение с ДС $x > -y$, повдигаме го на втора и преобразуваме до $x(2y + x - 1) = 0$, откъдето $x_1 = 0$ и $x_2 = 1 - 2y$
I) $x = 0$, следователно според ДС: $0 > -y \Rightarrow y > 0$
$\Rightarrow 2.2^{y + 1} = 9$
$\Rightarrow y = log_29 - 2 = log_2\frac{9}{4}$

II) $x = 1 - 2y$, следователно според ДС: $1 - 2y > -y \Rightarrow y < 1$
$(2^{1 - 2y} + 1)2^{y + 1} = 9$
$2^{1 - 2y + y + 1} + 2.2^{y} = 9$

Полагаме $t = 2^y > 0$:
$\frac{4}{t} + 2t - 9 = 0$
$2t^2 - 9t + 4 = 0$
$t_1 = \frac{1}{2} \Rightarrow y_1 = -1 \in$ ДС и $x = 3$
$t_2 = 4 \Rightarrow y_2 = 2 \notin$ ДС

Така окончателно двете двойки решения са $(0; log_29 - 2)$ и $(3; -1)$