Делимост

[DekataBG]

Да се намерят всички естествени числа m>0 и n>0, за които n дели m+1 и m дели n^2 - n + 1.

[pal702004]

$m=an-1$

$(an-1)\mid (n^2-n+1)$

$n^2-n+1\equiv 1 \pmod n$, има делител $-1\pmod n$, значи другия също е $-1 \pmod n$

Или

$(an-1)(bn-1)=n^2-n+1$

$n(ab-1)=a+b-1$

$ab=1$ не е решение.
Решения са:
$a=2,b=1,n=2$
$a=1,b=2,n=2$
$a=2,b=2,n=1$

във всички други случаи $ab-1>a+b-1)$

За $(n;m)$ решенията са $(2;3),(2;1),(1;1)$