Цели числа

[ganka simeonova]

Да се докаже, че числото

[tex]A_n=(\frac{5-\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1-\sqrt{5} }{ 2} )^n + (\frac{5+\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1+\sqrt{5} }{ 2} )^n[/tex]
е цяло при произволно естествено n.

[estoyanovvd]

Нещо ми намирисва на Фибоначи?!

[ganka simeonova]

Шшшштттт, не издавай тайната. Нека децата помислят

[estoyanovvd]

Ще помислят друг път! Мистър Светлина ще се навечеря и край на мисленето!

[Baronov]

Ще помислят друг път! Мистър Светлина ще се навечеря и край на мисленето!

Кой е мистър светлина?

[naitsirk]

ех.... след такава голяма подсказка...
пресмятаме: [tex]A_1=1[/tex] и [tex]A_2=2[/tex]. Ще докажем, че [tex]A_n=A_{n-1}+A_{n-2}[/tex] или [tex]A_n-(A_{n-1}+A_{n-2})=0[/tex], което е равносилно с [tex](\frac{5-\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1-\sqrt{5} }{2 } )^{n-2}(\frac{(1-\sqrt{5} )^2}{4 }-\frac{1-\sqrt{5} }{2 }-1 )+(\frac{5+\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1+\sqrt{5} }{2 } )^{n-2}(\frac{(1+\sqrt{5} )^2}{4 }-\frac{1+\sqrt{5} }{2 }-1 )=[/tex]
[tex]=(\frac{5-\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1-\sqrt{5} }{2 } )^{n-2}(\frac{1-2\sqrt{5}+5-2+2\sqrt{5}-4 }{4 } )+(\frac{5+\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1+\sqrt{5} }{2 } )^{n-2}(\frac{1+2\sqrt{5}+5-2-2\sqrt{5}-4 }{4 } )=0[/tex]. Тъй като първите два члена са цели числа, то по индукция следва, че и останалите са цели числа (като сбор на 2 цели числа...).

[ganka simeonova]

Точно така , Кристиане

[estoyanovvd]

Ще помислят друг път! Мистър Светлина ще се навечеря и край на мисленето!

Кой е мистър светлина?

Това е martin123456...10.com !!! Не го ли познаваш?! Той бърза пръв да пусне коментар за някоя задачка и по някой път го прави толкова бързо, че все едно действа със скороста на светлината!!! Не го ли знаеш?! Жалко. Той много ще се обиди!!!

[naitsirk]

Еха, първата, която ми пише името правилно от първия път (не с "Я").
Браво, госпожо

[ganka simeonova]

Еха, първата, която ми пише името правилно от първия път (не с "Я").
Браво, госпожо

Знеш ли, от малка много ми харесваше да произнасям думите отзад напред
Това "naitsirk" "агандев им ес ибан ан ичо"