Международна Жаутиковска олимпиада 2019, задача 6

[drago]

Върху даден полином от трета степен се разрешават да се правят следните две операции:
(i) Да се обърне реда на коефициентите му, включително и нулевите такива (например от полинома $x^3-2x^2-3$ можем да получим $-3x^3-2x+1$).
(ii) Полиномът $P(x)$ да се замени с $P(x+1)$.
Възможно ли е от полинома $x^3-2$ да се получи $x^3-3x^2+3x-3$ след прилагане на поредица от горните операции?

[pal702004]

Хм, можем ли да получим от полином с реален корен $\sqrt[3] 2$, полином с реален корен $\sqrt[3] 2+1$?

Как се променят корените на полинома с първата и втората операция? При първата $x\to \frac 1 x$, при втората $x\to (x-1)$

Ако след няколко операции се получи $x<=0$, то всички следващи $x$ ще са отрицателни. За да не се допуска това, ако $x<1$ задължителна е първата операция. Безсмислено е да тя да се извършва 2 пъти подред, следователно ako $x>1$, то след една или няколко (първи) операции ще получим $x-\lfloor x \rfloor$. На практика ще разлагаме $\sqrt[3] 2$ във верижна дроб.

Както и да е, започвайки от $x$, след всяка операция резултата представим във вид $\dfrac{ax-b}{-cx+d}$, където $a,b,c,d$ са цели неотрицателни.

Но $\sqrt[3] 2$ не може да е корен на уравнението $\dfrac{ax-b}{-cx+d}=x+1$, защото е кубична ирационалност (може да е корен на полином с цели коефициенти от 3-та или по-висока степен), а в случая се получава квадратно уравнение с цели коефициенти.

(Понеже $a,b,c,d$ са цели неотрицателни, не може да се получи и тъждество).

[123a]

Сори за фтопика, но може ли някой да преведе третото изречение на трета задача?

3. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность ω в точке N. На лучах CA и CB соответственно отмечены точки P и Q так, что PM∥BN и QM∥AN. На отрезках PM и QM соответственно отмечены точки X и Y так, что прямые PY и QX касаются ω. Отрезки PY и QX пересекаются в точке Z. Докажите, что четырехугольник MXZY описанный.

[pal702004]

На отрезках PM и QM соответственно отмечены точки X и Y так, что прямые PY и QX касаются ω.

На отсечките PM и QM съответно са отбеляни точките X и Y така, че правите PY и QX се допират до w.

[123a]

Или трета задача е твърде лесна, или е трудна и аз си мисля, че е лесна и писах глупости Но ще предложа решение и ако колегите имат заблежка, да споделят.

Условието на български:

Продължението на медианата $CM$ на триъгълник $ABC$ пресича описаната около него окръжност $w$ в точка $N$. На лъчите $CA$ и $CB$ съответно са взети точки $$Р и $Q$ съответно, такива ,че $PM∥BN$ и $QM∥AN$.На отсечките $PM$ и $QM$ съответно са отбеляни точките $X$ и $Y$ така, че правите $PY$ и $QX$ се допират до $w$. Да се докаже, че в четириъгълник $MXZY$ може да се впише окръжност.


Нека $QM$[tex]\cap[/tex]$BN=G$ и нека $PM$[tex]\cap[/tex]$AN=F$
Понеже $PM∥BN$ и $QM∥AN$ следва, че $MF$ и $MG$ са средни отсечки в $\triangle$ $ABN$ и $MGNF$ е успоредник.
$\angle$ $FNG$=$\angle$ $FMG$=$\angle$ $YMX$ =$\alpha$
Около $MXZY$ може да се опише окръжност, откъдето следва, че $\angle$ $XZY=180-\alpha$=>$ \angle$ $ZYX$= $\angle$ $ZXY=\frac{\alpha}{2}$
откъдето пък следва, че $ \angle$ $XYM$= $\angle$ $YXM=90-\frac{\alpha}{2}$ и $\triangle$ $MXY$ e равнобедрен. Тогава имаме, че $YM+ZX=YZ+MX$, което пък казва, че в $MXZY$ може да се впише окръжност

[ABK]

https://izho.kz/wp-content/uploads/2019 ... ol_eng.pdf

https://izho.kz/wp-content/uploads/2019 ... ol_eng.pdf

[drago]

@pal702004 : Браво!
Други възможни подходи (вкл. и моето решение ) може да видите тук: https://artofproblemsolving.com/communi ... omial_izho