Множество от стойности на функция

[123a]

Намерете всички стойности на параметъра $a$, за които множеството от стойностите на функцията $y=\frac{sinx+2(1-a)}{a-cos^2x}$ съдържа интервала $[1;2]$

[123a]

Никой?

[Davids]

Сравнително бързо и лесно можем да достигнем до заключението, че $a < 1$, понеже при $a \ge 1$ функцията ни ще приема само стойности, по-малки от 1.

За улеснение ще въведем $f(x) = y + 2 = \frac{sinx(1 + 2sinx)}{sin^2x - 1 + a}$, за която респективно ще искаме стойностите й да съдържат интервала $[3; 4]$.
Като следваща стъпка можем направо да положим $t = sinx$ и да изследваме за същото свойство функцията $\frac{x(2x + 1)}{x^2 - 1 + a}$ в интервала $[-1; 1]$.
С извеждане на производната можем да докажем, че при $a \in (\frac{3}{4}; 1)$ имаме наличие на две вертикални асимптоти при константно отрицателна първа производна, т.е. стойностите на функцията покриват интервала $(-\infty; +\infty)$.
Остана само тънкия момент да докажем, че трябва също $a > \frac{1}{3}$, което малко ми убягва...
В крайна сметка така или иначе $а \in (\frac{1}{3}; 1) \backslash \{ \frac{3}{4} \}$

[123a]

Отговорът е $a$[tex]\in[/tex]$[\frac{1}{3};\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4};\frac{33}{32}]$