НОМ Областен кръг 2019 г.

[DekataBG]

Намерете всички естествени числа n, за които [tex]12x^{2} - y^{2} = 2019^{n}[/tex] има решение в естествени числа

[pal702004]

Всички нечетни $n$
$n$ трябва да е нечетно, защото $y$ трябва да е нечетно и тогава $12x^2-y^2\equiv -1 \pmod 4$

За $n=1$ решение съществува: $x=13,y=3$ и следователно за всяко нечено $n=2k+1$ съществува решение

$x=13\cdot 2019^k,y=3\cdot 2019^k$

[DekataBG]

Благодаря за решението.
Но не разбрах защо от това, че у^2 е нечетно, следва, че n е нечетно.
И като гледам отговора имам чувството, че не съм запомнил цялото условие...

[Knowledge Greedy]

Благодаря за решението.
Но не разбрах защо от това, че у^2 е нечетно, следва, че n е нечетно.
И като гледам отговора имам чувството, че не съм запомнил цялото условие...

Дясната страна [tex]2019^{2s} \equiv 1(mod \,\ 4)[/tex],
а искаш да ти е равна на лявата, която дава остатък [tex]3[/tex] (т.е. (-1)) при деление на [tex]4[/tex].
Освен това се искат всички естествени числа n, за които уравнението има решение

Всички нечетни ...

го казва достатъчно ясно, само пускаш (неговото!) [tex]k[/tex] да обходи всички естествени числа.