ОЛИМПИАДА НА САЙТА 3 КРЪГ 10-12+ КЛАС

[allier]

1. Даден е триъгълник ABC и точка D от страната AB, за която[tex]\angle ACD = 3.\angle BCD = 90^\circ[/tex]и отсечките BD и AC са равни на 1. Да се намери дължината на отсечката CD.

2. Възможно ли е:
а) равностранен триъгълник
б) квадрат
да се разреже на поне три две по две нееднакви подобни на себе си фигури?

3. Дадени са естествени числа a, b, c, n, така че [tex]nabc = (ab-1)(bc-1)(ac-1)[/tex]. Да се докаже, че n не може да се представи като сума на два точни квадрата на естествени числа.

[allier]

4. Да се намерят всички стойности на параметъра a, за които сумата на реалните корени на уравнението [tex]x^4-5x+a=0[/tex] е равна на a.

5. Страната BC на триъгълника ABC е равна на [tex]a[/tex], а ъгълът BAC е равен на [tex]\alpha[/tex]. Правата, минаваща през средата на BC и центъра на вписаната в ABC окръжност, пресича AB и AC в точки M и P. Да се намери лицето на четириъгълника BMPC.

6. На колко е равно максималното j, за което първите j члена на две редици с периоди p и q, където p и q са различни прости числа, могат да съвпадат?

[allier]

3 кръг ще продължи до 11 Юни, 20:00. Решенията пращайте на лично съобщение на allier. В тази тема до края на кръга пишете само въпроси по условията.

[Станислав]

Условието на първата ми е неясно?

[allier]

Какво по-точно?

[ganka simeonova]

Какво по-точно?

И на мен:)
Значи ли, че <BCD=30?

[allier]

Това не го пише в условието. В условието е дадено, че 3.BCD = 90.

[ganka simeonova]

1. Даден е триъгълник ABC и точка D от страната AB, за която[tex]\angle ACD = 3.\angle BCD = 90^\circ[/tex]и отсечките BD и AC са равни на 1. Да се намерят ъглите и страните на ABC.

Сори, но това условие го разбирам таka:
[tex]\angle ACD=90^\circ ; 3\angle BCD=90^\circ =>\angle BCD=30^\circ[/tex]

[allier]

ACD = 90
3. BCD = 90
Ето това са двете равенства за ъглите. А дали BCD е 30, е въпрос по решението, не по условието.

[ganka simeonova]

Това не го пише в условието. В условието е дадено, че 3.BCD = 90.

Тогава е логично, да отговоршиш с ДА на въпроса ми.
Перфектно, защото си помислих, че вече немога да деля на 30 ))

[allier]

Добре де, заяждам се безпричинно ... Да, BCD е 30 градуса.

[Станислав]

Просто е искал да запише записа съкратено. Благодаря за информацията!

[estoyanovvd]

Ужас! Защо спамите непрекъснато?! Условието е от ясно по-ясно, но Ганка иска да и се отговори с ДА!!! Нямам думи!!!

[Станислав]

Искам да се извиня, защото бях помислил,че точката е край на изречението, а не умножение. Сега надявам се страстите се успокоят и ненужните постове изтрият

[allier]

Ще сменя един дребен детайл от първа задача, за да не трябва да се правят глупави сметки. По-горе съм коригирал условието. Извинявам се за промяната.

Освен това, за 6та задача, p и q са дадени т.е. отговорът зависи от p и q.

По втора задача - пита се квадрат може ли да се разреже на поне три два по два нееднакви квадрата, и същото за равностранен триъгълник и два по два нееднакви равностранни триъгълника.

[estoyanovvd]

За 5 зад. четириъгълникът с върхове B,M,P,C или точно в този ред както е написано в задачата?

[allier]

В този ред, като четириъгълникът може да е неизпъкнал.

[martin123456]

а какви са тези пердиоди p и q. не разбирам какво е редица с период p.

[allier]

Редица с период k считай, че означава, че [tex]x_{i }=x_{i+k }[/tex] за всяко i, като k е минималното число с това свойство. Например,

1,1,1,1,1,... е редица с период 1
1,2,1,2,1,... е редица с период 2
1,2,1,1,1,2,1,1,1,2,1,1 е редица с период 4

[martin123456]

от първият член на редицата ли започва педиода
т.е. [tex]x_0,..,x_n[/tex], после [tex]x_{n+1},...,x_{2n+1}[/tex],...,
или може да има и други членове в началото и после да следва горното

[allier]

По-горе пише за всяко i, т.е. периода започва от самото начало на редицита.

[martin123456]

въпрос по 2)
а) възможно ли е равностранен триъгълник да се разреже на поне три два по два неаднакви триъгълника, които са подобни помежду си
или
възможно ли е равностранен триъгълник да се разреже на поне три два по два неаднакви триъгълника, които са подобни на дадения (и не задължително помежду си)

[estoyanovvd]

Ако два триъгълника са подобни на трети, то те не са ли подобни и помежду си?

[martin123456]

ам не питам това

[allier]

Граматически проблем се появява в условието - възвратното местоимение себе си дали се отнася за всеки от триъгълниците, или за самата фигура. В случая се има предвид, може ли равностранен триъгълник да се разреже на два по два нееднакви равностранни триъгълника, и същото за квадрат - може ли да се разреже на два по два нееднакви квадрата.