Реципрочни стойности

[KOPMOPAH]

Попаднах на интересна задача:

Да се намерят $9$ различни естествени числа $a_j$, сумата от реципрочните стойности на които е равна на $1$.
$$\sum_{j=1}^{9 }\frac 1{a_j}=1$$

Скрит текст: покажи

Може $9$ да се замени с $99$, задачата е решима

[Добромир Глухаров]

С налучкване: $\{4;5;6;8;9;10;27;100;5400\}$

[Knowledge Greedy]

С налучкване: { 4,5,6,8,9,10,27,100,5400}

Казва се: "С изброяване на правдоподобни случаи."

[pal702004]

и без налучкване, уравнението

$\frac 1 x+\frac 1 y+\frac 1 z=\frac 1 3$

има "достатъчно" много решения в естествени числа.

Или от класическото $\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6=1$

да се решат 3 уравнения от 3 неизвестни.

[Genie_Almo]

[tex]\sum_{i=1}^{k }\frac{1}{2^i} + \frac{1}{2^k} = \sum_{i=1}^{k }\frac{1}{2^i} + \frac{3}{3.2^k} = \sum_{i=1}^{k }\frac{1}{2^i} + \frac{1}{3.2^k} + \frac{1}{3.2^{k-1}} = 1[/tex]

[KOPMOPAH]

... Или от класическото $$\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6=1$$

без да се решават $3$ уравнения с $3$ неизвестни, $$\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6.1=\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6.\left(\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6 \right)=\frac 1 2+\frac 1 3+\frac1{12}+\frac1{18}+\frac1{36}=\cdots$$ като умножаваме последната дроб по $\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6$ колкото пъти е необходимо

[pal702004]

като умножаваме последната дроб по $\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 6$ колкото пъти е необходимо

Ако е необходимо да се получат нечетен брой събираеми. Но това не е проблем, защото всяко събираемо $\dfrac 1 a$ може да се замени с $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{a(a+1)}$ и когато $a$ е най-голямо...