Шестцифрени числа, делящи се на 7

[KOPMOPAH]

Колко са шестцифрените числа, не съдържащи цифрата $0$ и кратни на $7$, които притежават следното свойството: при разместване местата на две от цифрите, новополученото число също да е кратно на $7$?

Отговорът е под спойлера.

Скрит текст: покажи

$133$

[KOPMOPAH]

Разглеждаме две съседни цифри на някое такова число $\cdots ab \cdots$. Ако им разменим местата, ще получим $\cdots ba \cdots$. Разликата на двете числа се дели на седем, след като всяко от тях се дели. Тази разлика е $9(a-b)$ по $10$ на някаква степен. Оттук следва, че във всяко число цифрите са сравними по модул $7$. Числата биха могли да са образувани двойките цифри $(7;0)$, $(8;1)$ и $(9;2)$. Първата отпада (съдържа $0$), а от другите могат да се получат по $2^6$ числа. Дотук имаме $128$ числа.
Като имаме предвид, че $111111$ се дели на $7$ и прибавим кратните му $333333,\, 444444,\, 555555,\, 666666,\, 777777$ окончателно получаваме $133$ числа.

[Davids]

Задължително ли е двете цифри да са съседни? В условието не е споменато никъде. Освен това смятам, че същото свойство се запазва и при много други числа, не само образуваните от цифрите на дадена двойка $2^6$ на брой такива. Примерно $118188$ е такова число, но същото важи и за $118195, 118216, 118223$ и т.н. При така зададеното условие имаме много повече от 133 числа, та това ме и усъмни в началото като видях задачата още. Аз ли нещо не схващам?

[KOPMOPAH]

Трябва ВСЯКО шестцифрено (както и да му разместване цифрите) да се дели на $7$ по условие. Числото $118195$ се дели, защото е със $7$ по-голямо от едно от решенията
Ако разместим, обаче, последните две цифри и получим $118159$... и пробваме да разделим...

[Davids]

Тоест при всички възможни размествания на две цифри да се запазва делимостта, ясно. Защото аз го разбрах така: ако можем да разменим местата на една двойка цифри, то числото ни устройва. Малко е двусмислено в този ред на мисли разместването на „две цифри“, както е описано в условието.