Успоредни прави и пресечена крива

[Davids]

Още един от т.нар. coffin problems, който е не по-малко елегантен и хитър в решението си
Дадени са две успоредни прави в равнина. На долната права е взета точка $A$, от която започва крива, която може да се движи само на североизток (т.е. е постоянно растяща и расте надясно от А) и пресича горната права в точка $B$. Къде трябва да се прекара перпендикулярна отсечка между успоредните прави, така че лицето на фигурата, заключена от отсечката и кривата, да е минимално.

Илюстрация:

Търси се съответно минималното лице на защрихованата част.

[MetalHead]

От мен едно леко наивно, макар и на пръв поглед коректно решение. Нека построим отсечките АА1 и ВВ1 съответно перпендикулярни на двете в условието, а M и N са техните среди. О е пресечната точка между МN и кривата. Построяваме перпеникуляри ОО1 до АВ1 и ОО2 до А1В. Отбелязваме, че ОО1=ОО2. Лицето на защрихованата част в този случай означаваме с S.
След това взимаме произволни P и Q от кривата, такива че P e вдясно от О, а Q e вляво, и аналогично построяваме PP1, PP2, QQ1 и QQ2.

Кривата върви на североизток, следователно PP1>PP2. Лицето на защрихованата част S[tex]_P[/tex] = S + [tex]S_{O1P1PO }[/tex] - [tex]S_{OPP2O2 }[/tex]. Но [tex]S_{O1P1PO }[/tex] > [tex]S_{OPP2O2 }[/tex], тъй като PP1>PP2. Следователно S[tex]_P[/tex] > S.

Също така QQ1<QQ2. Аналогично S[tex]_Q[/tex] = S + [tex]S_{QOO2Q2 }[/tex] - [tex]S_{Q1O1OQ }[/tex] > S. [tex]\Rightarrow[/tex] S[tex]_Q[/tex]>S.

Следва, че за всяка произволна точка от кривата S[tex]_n[/tex] > S, т.е. S e минималната площ. Tърсената перпендикулярна отсечка минава през точка О, която се определя еднозначно и зависи от кривата АB.

[Sup3rlum]

Screenshot_8.png (34.16 KiB) Прегледано 543 пъти

Малко ме метна тая задачка, но ето решението дето успях да измисля. Това е типичън пример за Calculus 1-2 задачка която разгрява обективно настроените нервни окончания.

Да кажем че имаме функцията $f(x)$ и знаем че е постоянно растяща $f'(x) > 0$.
Тук взимам нейния приятел $g(x) = f(x-m)+n$ където $g(0)=0$
От тук едната ни права е Х оста а горната права означавам $y=a$
точката в която кривата и горната права се пресичат е $(b,a)$
а правата, перпендикулярна на $a$ е със формула $x=c$

Функцията за защрихованото лице е $S(c)=\int_{0}^{c}g(x)dx + (b-c)*a - \int_{c}^{b}g(x)dx$
$S(c)=\int_{0}^{c}g(x)dx + (b-c)*a +\int_{b}^{c}g(x)dx=$
$S'(c)=g(c)-a+g(c)=0$
$\Rightarrow g(c)=\frac{a}{2}$

За да докажем че това е минимум $S''(c)=2g'(c) > 0 \Rightarrow$ Втората производна е положителна, значи сме на минимум, а функцията е монотонна, значи сме на глобален минимум.

[Davids]

Именно първото решение е хитрото и прозорливо такова, с каквито се характеризират и този тип задачи генерално, докато второто представено е солидното тежкоартилерийно такова. Хванали сме и цаката, подплътили сме и стабилно - двата полярни варианта на подход, поравно валидни. Добра работа!