Ковчежно неравенство

[Davids]

A coffin problem vol. 3
Да се реши за положителни стойности на $x$:

$x(8\sqrt{1-x} + \sqrt{1 + x}) \le 11\sqrt{1+x} - 16\sqrt{1-x}$

[Sup3rlum]

Взимам вече трето участие, до тук добре, не знам колко още колко ковчежни проблема има, ама да се надявам, че няма да ме преследват до ковчега (имам бая бая време до него).

$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \le 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}$

Става ясно че за да бъде дефинирано това неравенство $0\le x\le 1$.

1) $x=1 \Rightarrow 1 \le 11 $
2) $x \ne 1 \Rightarrow$
$ x(8+\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}) \le 11\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-16$

От тук полагаме $u=\frac{1+x}{1-x} \Rightarrow x=\frac{u-1}{u+1}$
$\frac{u-1}{u+1}(8+u^\frac{1}{2})\le 11u^\frac{1}{2}-16$

Разтваряме:

$-10u^\frac{3}{2}+24u-12u^\frac{1}{2}+8 \le 0 $
$-5u^\frac{3}{2}+12u-6u^\frac{1}{2}+4 \le 0 $
Обръщаме:
$5u^\frac{3}{2}-12u+6u^\frac{1}{2}-4 \ge 0 $

Да кажа тук по късмет получих 4 (пробвах с 1, 4, 9, 16). Виждам че може да се положи $w^2=u$ но това е директно взето от тетрадката ми
Тъй като има един корен и коефицента пред третата степен е положителен, региона става $u\ge 4$
$\Rightarrow \frac{1+x}{1-x} \ge 4 \Rightarrow x \ge \frac{3}{5}$

$\boxed{ \frac{3}{5} \le x \le 1}$