Друга кратка задача

[KOPMOPAH]

Намерете стойностите на параметъра $a$, при които уравнението $$\cos x={x \over a} $$ има два корена.

Скрит текст: покажи

За майстори: въпросът придобива вида "има четен брой корени".

[peyo]

По метода на отгатването предполагам, че отговора е 3 и -3, но не мога да кажа защо още.

[KOPMOPAH]

По метода на отгатването предполагам, че отговора е 3 и -3, но не мога да кажа защо още.

Май не е толкова...

[ptj]

Подсказка:

Иска се подходяща интерпретация.

Функцията [tex]arccos(y)[/tex] е непрекъсната и обхожда целия сегмент [-1;1] когато [tex]y[/tex] пробягва сегмента [tex][0;\pi][/tex].

...

П.П. Същественото е , че приема всяка функционална стойност точно веднъж.

[peyo]

По метода на отгатването предполагам, че отговора е 3 и -3, но не мога да кажа защо още.

Май не е толкова...

Да, не е толкова. Изследвах интересните стойности на а в атчнатия pdf с jupyter notebook. Отговора за първата стойност е 2.97169387071380.

Има и явно периодични четни решения, но периода не е нещо очевидно.

[Добромир Глухаров]

За $a$ получих уравнението $a.cos\sqrt{a^2-1}=\pm\sqrt{a^2-1}$, но не знам как да се реши, освен с числен метод.

[Knowledge Greedy]

... Отговора за първата стойност е 2.97169387071380.

Има и явно периодични четни решения, но периода не е нещо очевидно.

Периодични със сигурност няма. Поне в нашия свят.

Дясната страна е права пропорционалност - линейна функция, "закована" в началото. Графиката ѝ неминуемо ще пресече в повече от една точка графиката на [tex]cosx[/tex]. Надеждата за точно две решения е едно пресичане и едно допиране.
Точно с тази идея Добромир Глухаров » Нед Юни 02, 2019 1:20 pm получава
[tex]sinx_{o}=\frac{1}{a}[/tex] - за допирната точка, което води до [tex]cos\sqrt{a^2-1}=\pm \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}[/tex] - след изключване на [tex]x_o[/tex]

kosinus eual linear 2 sol.png (28.41 KiB) Прегледано 584 пъти

Ето резултатите на Wolfram Alpha.
От тях само два вършат работа, защото работата с производната е само необходимо условие.
_____________
Вижда се, че резултатът на AI, дали е с лицето на jupyter notebook или Wolfram Alpha, е един и същ.
Но за съжаление нямаме точни решения, а само приближени.

[martin123456]

Идея:
Сигурно малко съм позабравил нещата, но не може ли нещо от типа на [tex]\frac{\cos{x}}{x}=\frac{1}{a}[/tex]. Дясната страна е константа. Графиката на лявата може да се построи и изглежда както на прикачения файл. Може да се построи чрез позлване на производни, съображения за нарастване, намаляване, вдлъбнатост и т.н.
Линии с вид [tex]l_1[/tex] не вършат работа. Предполагам, че по оста [tex]x[/tex] графиката осцилира с връх все по-малко число по абсолютна стойност. Всяка линия близо под върха на първата осцилация би довела до много решения. Затова единственото е това при [tex]l_2[/tex] и нейната симетрична, т.е. за [tex]a[/tex] положително и отрицателно.
[tex]f(x)=\frac{\cos{x}}{x}[/tex], [tex]f'(x)=-\frac{x\sin{x}+\cos{x}}{x^2}[/tex]. Числителят се анулира, когато [tex]x=-\cot{x}[/tex]. Ако най-голямото по модул решение на последното е [tex]x_{max}[/tex], то [tex]a=\pm\frac{1}{f(x_{max})}[/tex].