На вниманието на нумеролозите

[KOPMOPAH]

Могат ли четирицифрените числа $$2009,\,2010,\,2011,\,...,\,2019$$да бъдат подредени долепени едно след друго (конкатенирани) в такъв ред, че новополученото число да бъде просто?

[Genie_Almo]

Как разсъждавам при подобни задачи. Като знам колко е сложно е понякога да се докаже, че едно 44-цифрено число е просто, инстинктивно ми се иска да пробвам да докажа, че то всъщност е съставно. Това ми изглежда по-постижима цел.

Извън рамките на шегата, при подобни постановки е добре да видим дали няма някой признак за делимост, който да "обслужва" едно подобно разместване. След кратко съзерцаване, вероятно ще забележим, че сумата от цифрите на четните, и тази на нечетните позиции остава постоянна при всяко разместване на 4-цифрените числа. Ако пък се окаже, че разликата на тези суми е кратна на 11, голям товар ще ни падне от плещите. Защото поне аз 44 цифрените прости числа трудно ги отличавам

[KOPMOPAH]

...Като знам колко е сложно е понякога да се докаже, че едно 44-цифрено число е просто, инстинктивно ми се иска да пробвам да докажа, че то всъщност е съставно. Това ми изглежда по-постижима цел. ...

Съвършено вярно! Това е начинът

[martin123456]

Такива задачи са или частен случай на някоя теорема или се търси контрапример. Например, сещам се за теорема че има просто в даден интервал [tex](n, 2n)[/tex]. Но не я използвам, защото тук числата са прекалено малко.
В случая най-малкото е да съберем цифрите, което е инварианта, т.е. не се мени от наредбата и например ако се дели на 3, значи не може. [tex]2009\equiv 2 \pmod{3}[/tex] и след това модулите ще се менят както следва [tex]2,0,1,2,0,1,2,0,1,2,0[/tex], т.е. сумата е [tex]2[/tex], значи не се дели на 3.
Ударихме на камък. Мислим..мислим и се сещаме, че числата са 10. Тогава подходящо е да видим какво става при деление на 11. [tex]2009\equiv 7[/tex], следващото дава 8, и т.н., значи 2009+4 дава 0. Числата дават остатъци [tex]\pm r[/tex], [tex]7, 8, 9, 10, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6[/tex]. Както и да ги наредим ще имаме число [tex]\bar{a_1a_2...a_{10}}=10^{36}a_1+10^{32}a_2+...+a_{10}\equiv a_1+a_2+...+a_{10}[/tex]. Значи сумата на числата дава остатъка при деление на 11. Тази сума е [tex]-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6 \equiv 0 \pmod{11}[/tex].