ЗМС 2009

[Mechkov]

Някой случайно да има темата за 10-ти клас?

[nakata]

Задачите от 10 клас 2009г. Бургас

[inflames678]

Задачата е 9.4 .
На дъската е написано естествено число. Всяка секунда отдясно към него се дописва цифра, различна от 9. Да се докаже, че след краен брой стъпки на дъската ще се появи съставно число.

[Mechkov]

Мерси.

[martin123456]

9.4
1) в началото е записано съставно. стоп.
2) в началото е записано просто
2.1.) ако на следващата секунда се добави четно или 5, то то става съставно и стоп.
2.2.) ако никога не се добави четно или 5, то се добавя на всчка секунда цифра от 1,3,7. разглеждаме остатъка на числото по модул 3.
нека сме записали след оригиналното число [tex]a_1[/tex] пъти 1, [tex]a_2[/tex] пъти 3, [tex]a_3[/tex] пъи 7. осттъкът става [tex]p_{mod3}+a_1+a_3[/tex].
2.2.1) нека остатъкът по модул на 3 на оригиналното число (p) е 2.
първоначално [tex]a_1+a_3[/tex] е 0. на всяка секунда то може да се увеличи с 1 или да не се измени. ако в даден момент се увеличи с 1, то числото ще стане 0 по модул 3. стоп. да допуснем че никога не се изменя. значи никога не записваме цифри 1 и 7. записваме само 3ки. значи трябва да докажем, че [tex]p33\ldots3[/tex] е съставно за определен брой 3ки.
2.2.2) нека остатъкът по модул 3 на оригиналното число е 1.първоначално [tex]a_1+a_3[/tex] е 0. на всяка секунда то може да се увеличи с 1 или да не се измени. ако в даден момент се увеличи с 2, то числото ще стане 0 по модул 3. стоп. до допуснем че се изменя само веднъж или никога не се изменя.
- ако се измени веднъж значи имаме само 3ки и 1 единица или само 3ки и 1 седмица
- ако не се измени значи имаме само 3ки, което е случаят 2.2.1), но [tex]p \equiv 1(mod 3)[/tex]

сега задачата става следната.
да се докаже че ако [tex](p,3)=1[/tex], то
а) [tex]p33\ldots3[/tex] е съставно за определен брой 3ки
б) [tex]p3\ldots3[/tex] е съставно за определн брой 3ки и 1 единица или седмица преди, измежду или след 3ките

което не мога да измисл още как става

п.с. може би 1) не се брой, а трябва да се запише поне е цифра. но тогава просто действаме както в 2)

[inflames678]

И аз стигнах до тук и зациклих.
Само че аз стигнах до извода че числата са от вида
313...373....3;
313...313....3;
373...313....3;
373...373....3;
23..33
53..33 - мисля че 533 беше съставно
което си е напълно аналогично.

п.п. Момче съм

(може би не си направила като мен стъпка 1).

[martin123456]

да, аналогично е - ти си намерила вида на числата, а аз една стъпка преди да станат съставни.
аз не стигнах до 2ка (може би не си направила като мен стъпка 1).

[martin123456]

мисля че измислих защо [tex]a333...3[/tex] не може да е просто за произволен брой 3ки (брой > 0)
[макар че в последните редове го свързах конкретно със зададената задача]
нека броят тройки е [tex]M[/tex]. значи числото е [tex]10^Ma+\frac{10^M-1}{3}=\frac{3a10^M+10^M-1}{3}[/tex]. допускаме че горният израз е просто за произволно [tex]M[/tex]. => за всяко [tex]M[/tex] [tex]\exist p \in \mathbb{P}[/tex], че [tex]3a10^M+10^M-1=3p[/tex].

нека [tex]q[/tex] е произволно просто число, различно от 2, 3 и 5. избираме си [tex]M=q-1[/tex]. от горе съществува [tex]p[/tex], че [tex]3a10^M+10^M-1=3p[/tex]. разглеждаме това равенство модул [tex]q[/tex]. то е [tex]3a \equiv 3p \hspace{2mm}(mod \hspace{2mm} q)[/tex]. значи [tex]q|(p-a)[/tex].

задаваме стойности на [tex]q[/tex] последователно от [tex]\{7,11,13,\ldots\}[/tex] - множеството на простите числа по-големи от 5. получваме че съществуват [tex]p_i[/tex], че са верни:
[tex]7|(p_1-a)[/tex]
[tex]11|(p_2-a)[/tex]
[tex]13|(p_2-a)[/tex] и тн
да допуснем че [tex]a[/tex] има прости делители от това множество ( [tex]\{7,11,13,\ldots\}[/tex]). нека е имало прост делител [tex]q[/tex]. значи за [tex]q|(p_k-a)[/tex] имаме [tex]q=p_k[/tex]. тогава [tex]3a10^{q-1}+10^{q-1}-1=3q[/tex]. Но [tex]q \geq 7[/tex] така че това равенсвто е невъзможно.
значи единствените прости делители на [tex]a[/tex] са сред 2,3,5.
от разсъжденията по задачата в миналите постове, изключваме [tex]x[/tex] да е съставно и се дели на 3. значи [tex]a=2[/tex] или [tex]a=5[/tex].
533=13*41
за 23..3 не ми се търси

[nikox]

А някой случайно да има темата за 9 клас, или поне условието 1. или 2. задача ?

[inflames678]

Има я в стария форум http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=8408
И относно решението на martin12345 не разбрах как стигнахме до 3a?3p (mod q).
Благодаря предварително.

[estoyanovvd]

Има ги ТУК!

[estoyanovvd]

Ако някой се интересува от Зимните математически състезания през 2008, 2007,2006 може да ги види пак ТУК!

[inflames678]

И относно решението на martin12345 не разбрах как стигнахме до 3a?3p (mod q).
Благодаря предварително.

Разбрах го.

[Станислав]

Само по задачата: Трябва да докажем, че [tex]N=p33333...[/tex] е съставно за някое просто число [tex]p\ne 3,2,5[/tex] и някакъв набор от 3ки. Представяме [tex]N=10^k.p + \frac{10^{k}-1}{3}[/tex]. Сега е достатъчно да изберем [tex]k=p-1[/tex] и тогава [tex]p|\frac{10^{p-1}-1}{3}[/tex] от Малката Теорема на Ферма, откъдето твърдението следва. Авторското е с принцип на Дирихле, но мен не ме кефи толкова...
ПП По писаниците на martin123456 няма да оставям коментар...