Нестандартно неравенство

[123a]

Решете неравенството:

[tex]\frac{(|x-2|-4-x^2)(|x+4|-\sqrt{x^2-x-2})}{(|1-x|-4)(|3+x|-|x-5|)}>0[/tex]

[123a]

Ще решим задачата с Метода на замяна на множители. Нека първо видим какво представлява този метод.

Нека разгледаме функцията $y=t^n$. Очевидно при $n>0$ финкцията е строго растяща и можем да направим следните замени:

$\boxed{t_1-t_2 \iff t_1^n-t_2^n}$ при $n>0$, [tex]t_1,t_2\ge0[/tex]

$\boxed{t_1-t_2 \iff t_1^{2k-1}-t_2^{2k-1}} $, k-естествено число

Функциите $y=t^2$ и $y=\sqrt{t}$ са взаимно обратни и строго растящи в множеството на неотрицателните числа. Т.е

$\boxed{t_1<t_2 \iff t_1^2<t_2^2 \iff \sqrt{t_1}<\sqrt{t_2}} (1)$

Ето защо $\boxed{t_1-t_2 \iff t_1^2-t_2^2} (2) $ , $\boxed{\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2} \iff t_1-t_2};t_1,t_2\ge0 (3) $

Понеже $|x|\ge0$ и $|x|^2=x^2$ за $\forall x=>$ $\boxed{|t_1|-|t_2| \iff |t_1|^2-|t_2^2| \iff t_1^2-t_2^2} (4) $

Нека решим неравенството:

[tex]\frac{(|x-2|-4-x^2)(|x+4|-\sqrt{x^2-x-2})}{(|1-x|-4)(|3+x|-|x-5|)}>0[/tex]

Забелязваме, че всички множители са от вида $t_1-t_2$ ,където [tex]t_1,t_2\ge0[/tex] и в сила е $(2)$. Прилагаме МЗМ и при $x^2-x-2\ge0$ неравенството е еквивалентно на

$ \frac{(|x-2|^2-(x^2+4)^2)(|x+4|^2-( \sqrt{x^2-x-2})^2}{|1-x|^2-4^2)(|3+x|^2-|x-5|^2)}>0$

$ \frac{[(x-2)-(x^2+4) ][(x-2)+(x^2+4)][(x+4)^2-(x^2-x-2)]}{[(1-x)^2-4^2 ][(x+3)^2-(x-5)^2]}>0$

$ \frac{[(x-2)-(x^2+4) ][(x-2)+(x^2+4)](9x+18)}{(1-x-4)(1-x+4)(x+3+x-5)(x+3-x+5)}>0$

$\frac{9(-x^2+x-6)(x^2+x+2)(x+2)}{16(-x-3)(5-x)(x-1)}>0$

$\frac{-9(x^2-x+6)(x^2+x+2)(x+2)}{16(x+3)(x-5)(x-1)}>0$

$\frac{x+2}{(x+3)(x-5)(x-1)}<0=>x\in(-3;-2)\cup (1;5)$

Засичайки с $x^2-x-2\ge0$, получаваме $\boxed{x\in(-3;-2)\cup[2;5)}$