Задача за медиани в триъгълник от олимпиада.

[CTaBpu]

Интересно ми стана как се решава дадената задача:

"Лице на триъгълник ABC = 36см. Със страни, равни на медианите му, е построен нов триъгълник. Неговото лице е?

Ще бъда доста удивен, ако някой я реши. Аз с много опити не успях.

[Davids]

Както си спомних, имаше едно тънка формулка за намиране лицето на триъгълник по три дадени медиани, много подобна на Хероновата.
Ето я и описана тук: $S = \frac{4}{3}\sqrt{\delta(\delta - m_a)(\delta - m_b)(\delta - m_c)}$, където $\delta = \frac{m_a + m_b + m_c}{2}$ е полусбора от медианите.

Имайки предвид, че абсолютно същия радикал е равен на лицето именно на триъгълник, чиито страни са равни на тези медиани, а $\delta$ е техният полусбор, лесно достигаме до правопропорционалната зависимост между двете лица:
$S = \frac{4}{3}S_1$, където $S_1$ е лицето на триъгълника от медианите.

Тогава $S_1 = \frac{3}{4}S = 27$ в случая.

Извеждането на формулата е интересно, но не толкова трудно. Може да си поиграеш като допълнителен бонус

[CTaBpu]

Леле дори не се бях замислял, че може да е нещо толкова просто.

[ptj]

Нормалното решение е още по-лесно.
[tex]\triangle ABC[/tex]. [tex]S_{ABC}=S[/tex]
[tex]BN,CM[/tex]- медиани
[tex]NCPQ[/tex]- успоредник.

[tex]S_{ANB}=\frac{S}{2}[/tex]

[tex]S_{PNB}:S_{ANB}=PB:AB=3:4[/tex] (Талес) [tex]\Rightarrow S_{PBN}=\frac{3}{4}.\frac{S}{2b}=\frac{3S}{8}[/tex]

[tex]S_{NQB}:S_{NPB}=NQ:NP=CM:NP=2:1[/tex],

т.е. [tex]S_{NQB}=\frac{3}{4}S[/tex]

-------------------------------------
Остава да докажеш, че [tex]QB[/tex] e равна на 3-тата медиана.

Ако си на "ти" с векторите - трябва веднага да видиш, че ако замениш медианите със съответните им вектори и ги сумираш ще получиш нулев вектор, т.е. може да минеш и без исканото доказателство.

[CTaBpu]

Може ли примерен чертеж, защото нещо не си го представям?

[Gruicho]

Ако имаше чертеж щеше да е ясно къде са точките P и Q

[ptj]

Бях объркал някои букви. Ето правилния вариант:

[tex]\triangle ABC[/tex]. [tex]S_{ABC}=S[/tex]
[tex]BN,CM[/tex]- медиани
[tex]NCMQ[/tex]- успоредник.
[tex]NQ \cap AB= \{т.P\}[/tex]

[tex]S_{ANB}=\frac{S}{2}[/tex]

[tex]S_{PNB}:S_{ANB}=PB:AB=3:4[/tex] (Талес) [tex]\Rightarrow S_{PBN}=\frac{3}{4}.\frac{S}{2b}=\frac{3S}{8}[/tex]

[tex]S_{NQB}:S_{NPB}=NQ:NP=CM:NP=2:1[/tex],

т.е. [tex]S_{NQB}=\frac{3}{4}S[/tex]

-------------------------------------
Остава да докажеш, че [tex]QB[/tex] e равна на 3-тата медиана.

Ако си на "ти" с векторите - трябва веднага да видиш, че ако замениш медианите със съответните им вектори и ги сумираш ще получиш нулев вектор, т.е. може да минеш и без исканото доказателство.