Състезание 11 клас 2013 - 3cosx + 31−cosx = a има 1 решение

[Делян Василев]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър a, за които уравнението 3cosx + 31−cosx = a има точно едно решение в интервала [0,π].

[Петър Евгениев]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър a, за които уравнението 3cosx + 31−cosx = a има точно едно решение в интервала [0,π].

Едното не трябва ли да е [tex]sinx[/tex]

[Делян Василев]

3cosx + 31−cosx = a
дадено е като 3 на степен cosx - 3 на степен 1 - cosx
извинявай много трудно ми еда го давам на степени

[Петър Евгениев]

3cosx + 31−cosx = a
дадено е като 3 на степен cosx - 3 на степен 1 - cosx
извинявай много трудно ми еда го давам на степени

[tex]3^{cosx}-3^{1-cosx}=a, x\in [0, \pi][/tex]
[tex]3^{cosx}-\frac{3}{3^{cosx}}=a[/tex]
[tex]\varphi-\frac{3}{\varphi}=a, \varphi=3^{cosx} > 0[/tex]
[tex]\varphi^{2}-3-3a\varphi=0[/tex]
[tex]\varphi^{2}-3a\varphi-3=0, D=9a^{2}+12[/tex]
[tex]D=0 \Rightarrow 9a^{2}+12=0 a\in \mathbb{C}(\notin \mathbb{R})[/tex]
[tex]D>0 \Rightarrow 9a^{2}+12>0 \Rightarrow a^{2}>\frac{-12}{9} \Rightarrow a^{2}>\frac{-4}{3} \forall a\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]D<0 \Rightarrow 9a^{2}+12<0 \Rightarrow a^{2}<\frac{-4}{3} \Rightarrow a\in \emptyset[/tex]
Стигнах до никъде... Обикновенно бих го изтрил, но да не е похабена енергия напразно. Утре ще го видя.

[Делян Василев]

да така е

[ptj]

Нека [tex]f(x)=\varphi^2-3a\varphi-3[/tex],

Условието за един корен[tex]\in (0;\pi)[/tex] е равносилно на [tex]f(0).f(\pi)<0[/tex].

Другата възможност е корена да е [tex]0[/tex] или [tex]\pi[/tex]. Като не трябва да се нулира едновременно и при двете стойности. Също не съм сигурен дали евентуален двоен корен се приема за решение или не.

[Петър Евгениев]

Не знам къде съм гледал, но трябва да е: [tex]\varphi^{2}-a\varphi-3=0[/tex]
Ако има двоен корен, да зачита се, според мен, защото графиката веднъж пресича абсцисата.
[tex]D>0 \forall a \in \mathbb{R}[/tex]