Построителна задача

[KOPMOPAH]

Да се построи триъгълник, ако са дадени три точки, които са центровете на външновписаните му окръжности.

[ins-]

Скрит текст: покажи

Ако центровете на външновписаните окръжности са: [tex]I_{A}[/tex][tex]I_{B}[/tex], [tex]I_{C}[/tex] то върховете на началния триъгълник се явяват петите на височините на [tex]I_{A}I_{B}I_{C}[/tex].

Навремето бях срещал една интересна задача:

Да се възстанови триъгълник по дадени връх [tex]A[/tex], център на вписаната окръжност [tex]I[/tex] и медицентър [tex]G[/tex].

Споменавал съм я във форума и преди. Ще ми е интересно да видя нейно решение.
Би могла да се атакува по поне 2 начина - алгебричен, но са тежки изчисленията или аналитичен - и при него има известни особености.

[S.B.]

Без заглавие (52).png (377.4 KiB) Прегледано 422 пъти

Без заглавие (61).png (269.04 KiB) Прегледано 422 пъти

Да се построи триъгълник, ако са дадени три точки, които са центровете на външновписаните му окръжности.

Анализ:
Допускам,че задачата е решена и [tex]\triangle ABC[/tex] е търсеният триъгълник.
$O_{1 },O_{2 }$ и $O_{3 }$ са центровете на трите външно вписани окръжности.Те са пресечните точки на ъглополовящите на външните ъгли на триъгълника.
Нека разгледаме върха $A$.при него при пресичането на правите $AB$ и $AC$ се получават 4 ъгъла ,два по два срещуположни , ъглополовящите на които са взаимно перпендикулярни.Ще докажа,че $O_{3 }$ принадлежи на вътрешната ъглополовяща на $\angle A$:
$O_{3 }$ е център на външновписаната окръжност,която се допира до $BC \Rightarrow O_{3 }P = O_{3 }Q = R_{a }$ ,където $R_{a }$ е радиус на външно вписаната окръжност.От $O_{3 }P = O_{3 }Q \Rightarrow $,че $O_{3 }$ е на равни разстояния от раменете на $\angle A = \angle BAC \Rightarrow O_{3 }$ принадлежи на ъглополовящата на този ъгъл $\Rightarrow O_{3 }A\bot O_{1 }O_{2 }$
С аналогични разсъждения за върховете $B$ и $C$ стигам до решението,че върховете на търсения триъгълник са петите на височините в $\triangle O_{1 }O_{2 }O_{3 }$

Построение:
1) Построявам $\triangle O_{1 }O_{2 }O3_{1 }$
2)$O_{3 }B \bot O_{1 }O_{2 } , O_{2 }A\bot O_{1 }O3_{1 } , O_{1 }C \bot O_{2 }O_{3 }$
3)$\triangle ABC$ е търсеният

[S.B.]

По дефиниция т.[tex]O_{3 }[/tex] е пресечна точка на двете външни ъглополовящи при страната $BC$ и вътрешната ъглополовящата на $\angle A$ ,но аз се "презастраховах" с още едно доказателство,че $AO_{3 }$ е ъглополовяща.Може би не беше необходимо...