Триъгълна пирамида с перпендикулярни ръбове

[KOPMOPAH]

Околните ръбове на триъгълна пирамида са взаимно перпендикулярни и имат дължини $3$, $4$ и $5$. Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера. ($3$ точки)

Скрит текст: покажи

Отговор: $\frac{5\sqrt 2}2$

За намиране радиуса на ВПИСАНАТА сфера - $1,5$ точки

[Davids]

PyramidInscribed.png (27.05 KiB) Прегледано 1399 пъти

Даденото е означено на чертежа. Разглеждаме околната стена $ACH$, където по питагорова теорема хипотенузата $AC = 5$.
Ще разгледаме същата околона стена като основа на пирамидата. Тогава центърът на описаната сфера около пирамидата ще лежи върху пресечната точка на симетралите на околните ръбова с перпендикуляра, пробождащ равнината на основата (вече $ACH$) през центъра на описаната й окръжност. Първо ще спуснем въпросния перпендикуляр - правата $OM \bot (ACH)$, която минава през средата на $AC$ - точка $M$ (в правоъгълен триъгълник центърът на описаната окръжност е средата на хипотенузата). Но понеже и $BH \bot (ACH)$, то $OM || BH$. Понеже всички симетрали на околните ръбове пресичат перпендикуляра в една точка, то на нас ни стига една симетрала, и за удобство ще изберем тази на паралелния ръб $BC = 5$, чиято среда ще кръстим $N$. Тогава $HN = \frac{5}{2}$ За да допълним картинката, построяваме и медианата $CM = \frac{5}{2}$ в $\delta ACH$. Така поради трите си прави ъгъла и двете съседни страни, равни на $\frac{5}{2}$, четириъгълникът $MONH$ се оказва квадрат, в който радиуса на описаната сфера се явява диагонал, оттам следва $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Другата подточка малко по-късно, че трябва да бягам

[S.B.]

Без заглавие (81).png (322.49 KiB) Прегледано 1385 пъти

Радиус на описаната сфера :
Допълвам пирамидата $ABCD$ до правоъгълния паралелепипед $ABA_{1 }CDB_{1 }D_{1 }C_{1 }$
Сферата описана около паралелепипеда е същата ,която може да се опише около пирамидата,защото върховете на пирамидата $A , B , C ,D$ принадлежат на сферата. Диагоналното сечение на паралелепипеда е $AA_{1 }D_{1 }D$ е квадрат със страна $5$.Телесния диагонал е $A_{1 }D = 2R = 5\sqrt{2}$ , [tex]\Rightarrow R = \frac{5\sqrt{2}}{2}[/tex]

Радиус на вписаната сфера :
$r = \frac{3V}{S_{пълна }}$

$V = \frac{S_{ABC }.AA_{1 }}{3} = \frac{6.5}{3} = 10$
$S_{пълна } = S_{ABC } + S_{ABD } + S_{ACD } + S_{BCD } = 6 + 10 + 7,5 + S_{BCD } = 23,5 + S_{BCD }$
$S_{BCD} = \frac{BC.DO}{2}$ (където т. $O$ е пресечната точка на диагоналите в основата на паралелепипеда ,която съм пропуснала на чертежа )
$DO = \sqrt{AO^{2} + AA_{1 }^{2}} = \sqrt{25 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$
$S_{BCD } = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ , $S_{пълна } = 23,5 + \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{94 + 25\sqrt{3}}{4}$
$r = \frac{120}{94 + 25\sqrt{3}}$

Скрит текст: покажи

Ако не съм оплела сметките! Но идеята е ясна