Перпендикуляри в правоъгълен триъгълник

[KOPMOPAH]

От средата на медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник с лице $S$ са спуснати перпендикуляри към трите страни. Да се намери лицето на триъгълника, образуван от петите на перпендикулярите.

[S.B.]

Без заглавие (80).png (306.52 KiB) Прегледано 776 пъти

От средата на медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник с лице $S$ са спуснати перпендикуляри към трите страни. Да се намери лицето на триъгълника, образуван от петите на перпендикулярите.

Нека [tex]AB = c , CH = h , CM = \frac{c}{2} , S = \frac{c.h}{2}[/tex]
$B_{1 }KA_{1 }C$ е правоъгълник с диагонали $B_{1 }A_{1 } = CK = \frac{c}{4}$
$\triangle CKA_{1 } \approx \triangle ABC$ ( първи признак) $\Rightarrow \frac{CK}{AB} = \frac{c}{4c} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{S_{CKA_{1 } }}{S_{ABC }} = \frac{1}{16} \Rightarrow S_{CKA_{1 } } = \frac{S}{16}$
$\triangle B_{1 }A_{1 }C \cong \triangle CKA_{1 } \Rightarrow S_{CB_{1 }A_{1 } } = \frac{S}{16}$
$A_{1 }B_{1 } || AB$ (равни съответни ъгли) $\Rightarrow B_{1 }P = A_{1 }Q$
Oт $\triangle A_{1 }B_{1 }C \approx \triangle ABC$ с коефициент $\frac{1}{4} \rightarrow B_{1 }P = C_{1 }Q = \frac{3}{4}h$
$S_{A_{1 }B_{1 }C_{1 } } = S_{ABC } - (S_{A_{1 } B_{1 }C } + S_{AC_{1 }B_{1 } } + S_{BA_{1 }C_{1 } })$
Нека $C_{1 }M = x$
[tex]S_{AC_{1 }B_{1 } } + S_{BA_{1 }C_{1 } } = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}h.(\frac{c}{2} - x) + \frac{1}{2}.\frac{3}{4}h.(\frac{c}{2} + x) = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}hc = \frac{3}{4}.\frac{hc}{2} = \frac{3}{4}S[/tex]
$S_{A_{1 }B_{1 }C_{1 } } = S - (\frac{S}{16} + \frac{3}{4}S) = S - S(\frac{1 + 12}{16}) = S - \frac{13}{16}S = \frac{3}{16}S$

[KOPMOPAH]

Толкова е!

Бравo.gif (6.89 KiB) Прегледано 764 пъти

[Евва]

Имам идея за по-кратко решение.
Утре ще се опитам да го напиша.

[Евва]

Ще използвам доказаните от S.B. ,че [tex]В_{1 }[/tex]К[tex]А_{1 }[/tex]С е правоъгълник и [tex]\triangle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex]С[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{В_{1 }А_{1 }}{АВ}[/tex]=[tex]\frac{СК_{1 }медиана}{СМмедиана}[/tex]

Скрит текст: покажи

Ако греша ,поправете ме.

т.е. [tex]\frac{В_{1 }А_{1 }}{АВ}[/tex]=[tex]\frac{\frac{СМ}{4}}{СМ}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] Получихме [tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex]=[tex]\frac{АВ}{4}[/tex] (1)
От подобието имаме също [tex]\frac{В_{1 }А_{1 }}{АВ}[/tex]=[tex]\frac{СС_{3 }височина}{СНвисочина}[/tex] т.е. [tex]\frac{\frac{АВ}{4}}{АВ}[/tex]=[tex]\frac{СС_{3 }}{СН}[/tex]

Получихме С [tex]С_{3 }[/tex]=[tex]\frac{СН}{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]С_{3 }[/tex]Н=[tex]\frac{3СН}{4}[/tex] ,но [tex]С_{3 }[/tex]Н=[tex]С_{1 }[/tex][tex]С_{2 }[/tex] височина в [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]

Намерихме [tex]С_{1 }[/tex][tex]С_{2 }[/tex]=[tex]\frac{3СН}{4}[/tex] (2)

[tex]S_{A_{1 } B_{1 }C_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{A_{1 }B_{1 }.C_{1 }C_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{AB}{4}[/tex].[tex]\frac{3CH}{4}[/tex]=[tex]\frac{3}{16}[/tex].[tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{16}[/tex]S

[S.B.]

Ще използвам доказаните от S.B. ,че [tex]В_{1 }[/tex]К[tex]А_{1 }[/tex]С е правоъгълник и [tex]\triangle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex]С[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]АВС ...

Ама то може и още по-кратко!!! Достатъчно е да имаш пред себе си готов чертеж, готово доказателство,че [tex]\triangle A_{1 }B_{1 }C\approx ABC[/tex] с коефициент $\frac{1}{4}$ и да знаеш ,че верният отговор е $\frac{3}{16}S$:

$S_{A_{1 }B_{1 }C_{1 } } = \frac{B_{1 }P.A_{1 }B_{1 }}{2} = \frac{3h}{4}.\frac{c}{4}.\frac{1}{2} = \frac{3}{16}.\frac{ch}{2} = \frac{3}{16}S$
Как не се досетих още в онази нощ ,през която мъдрувах над задачата!