Триъгълник и външна ъглополовяща

[KOPMOPAH]

Даден е триъгълник $\triangle ABC$ с $\measuredangle CAB = \alpha$ и $\measuredangle ABC = 2\alpha$. Окръжност с център връх $C$ и радиус $CA$ пресича ъглополовящата на външния ъгъл при върха $B$ в т.$M$ и т.$N$.

Да се намерят ъглите $\measuredangle NAB$ и $\measuredangle MAB$.

[S.B.]

Без заглавие (82).png (463.8 KiB) Прегледано 983 пъти

Даден е триъгълник $\triangle ABC$ с $\measuredangle CAB = \alpha$ и $\measuredangle ABC = 2\alpha$. Окръжност с център връх $C$ и радиус $CA$ пресича ъглополовящата на външния ъгъл при върха $B$ в т.$M$ и т.$N$.

Да се намерят ъглите $\measuredangle NAB$ и $\measuredangle MAB$.

Окръжност [tex]k(C,r = AC[/tex], $l_{B },l_{B1 }$ - вътрешна и външна ъглополовяща на $\angle B$ , $l_{B1 }\cap k = M,l_{B1 }\cap k = N$
Страната $AB\cap k = Q , QP = 2r$ - диаметър
$\triangle ACQ $ е равнобедрен $(AC = QC = r ) \Rightarrow \angle AQC = \alpha \Rightarrow QC || l_{B }$ ( равни съответни ъгли)
[tex]\begin{cases} l_{B } \bot MN\\ CQ || l_{B } \end{cases} CQ \bot MN , CQ\cap MN = K \Rightarrow KC = KQ[/tex]
$\triangle NCK \cong \triangle NQK $ ( 1-ви признак )
$\Rightarrow CN = NQ$ ,но $CN = CQ = r \Rightarrow CN = NQ = CQ \Rightarrow \triangle NCQ$ е равностранен ,
$\angle QCN = 60^\circ$ (централен) $\Rightarrow д.QN = 60^\circ \Rightarrow \angle NAQ = \angle NAB = \frac{д.NQ}{2} = 30^\circ$
Аналогично $\triangle MQK \cong \triangle MCK \Rightarrow MQ = MC ,MC = CQ = r \Rightarrow \triangle MCQ$ е равностранен,
$\angle MCQ = 60^\circ$ централен $\Rightarrow д.MQ = 60^\circ \Rightarrow \angle MAQ = \angle MAB = \frac{д.MQ}{2} = 30^\circ$