Задача с окръжности

[ins-]

Дадени са три окръжности с радиуси [tex]p_a[/tex], [tex]p_b[/tex], [tex]p_c[/tex]. Всяка от тях се допира до две от страните на триъгълник и описаната около него окръжност. Да се намери радиусът на описаната окръжност.

[S.B.]

Без заглавие (86).png (548.5 KiB) Прегледано 497 пъти

Дадени са три окръжности с радиуси [tex]p_a[/tex], [tex]p_b[/tex], [tex]p_c[/tex]. Всяка от тях се допира до две от страните на триъгълник и описаната около него окръжност. Да се намери радиусът на описаната окръжност.

[ins-]

Задачата е стара и с интересна история. Не е измислена от мен, но ми хареса. Не ми се струва трудна, но е до нагласа и предишен опит. Ако никой не я реши може постепенно да публикувам стъпки от възможно решение.

[ins-]

Насоки и история:

Скрит текст: покажи

За да се реши задачата и да се провери полученият резултат е необходимо да могат да се построят посочените окръжности и да се намерят радиусите им. Повече информация за това може да се намери тук: https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... xplanation
След като се изразят радиусите на трите окръжности чрез тригонометрични функции на ъглите и радиуса на вписаната окръжност биха могли да се използват тъждествата:
[tex]sin^2\frac{\alpha}{2}+sin^2\frac{\beta}{2}+sin^2\frac{\gamma}{2}+2sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}=1[/tex] (пускано е като задача от мен)
[tex]r=4Rsin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}[/tex]
[tex]sin^2x+cos^2x=1[/tex].
Като резултат се получава система, от която може да се изразят [tex]r[/tex] и [tex]R[/tex] чрез [tex]p_a[/tex], [tex]p_b[/tex], [tex]p_c[/tex].
За да се потвърди коректността на получения резултат е възможно да се използва софтуер. За решаването на системата - също.
Повече за историята на задачата може да се прочете тук: https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... aku3.shtml
Била е предлагана в руски университет с цел елиминиране на евреи - кандидат-студенти: http://www.tanyakhovanova.com/Coffins/coffinsmain.html - Problem 24.
Предполагам, че задачата би могла да се реши и по друг начин.