Всичко ново е добре забравено старо

[KOPMOPAH]

Вярно ли е, че за всеки триъгълник $$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac rR$$Обозначенията са стандартни.

[Евва]

Вярно е . Доказах го като мислих малко разчупено .

Скрит текст: покажи

Утре ще пратя решението си. Дано някой студент ме изпревари!

[ptj]

Тази задача е добра, защото показва как понякога може да решите трудна задача с идея различна от тази на авторите.

Да речем, че не ви се занимава с тригонометрични тъждества или геометрични решения.
Тогава идеята е да сведете това тъждество до някое по-лесно за проверка.

Предполагам, първото което сте сетили за косинусите, е косинусова теорема. Да изразим сумата на трите косинуса чрез страните:

[tex]cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}+\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=[/tex]

[tex]=\frac{-a^3-b^3-c^3+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2}{2abc}[/tex].


За съотношението [tex]\frac{r}{R}[/tex] ще използваме двете формули за лице : [tex]S=p.r[/tex] и [tex]S= \frac{abc}{4R}[/tex], т.е.

[tex]\frac{r}{R}=\frac{8S^2}{abc(a+b+c)}[/tex].

Лицето - естествено от Хероновата формула : [tex]S^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(-a+b-c)(a-b+c)(a+b-c)[/tex]

Заместваме и разкриваме скобите:

[tex]\frac{-a^3-b^3-c^3+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2}{2abc}-1=\frac{8(a+b+c)(-a+b-c)(a-b+c)(a+b-c)}{16abc(a+b+c)}[/tex].

[tex]-a^3-b^3-c^3+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2-2abc=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)[/tex]

Получихме тъждество.

[S.B.]

Тази задача е добра, защото показва как понякога може да решите трудна задача с идея различна от тази на авторите.

Да речем, че не ви се занимава с тригонометрични тъждества или геометрични решения.
Тогава идеята е да сведете това тъждество до някое по-лесно за проверка.

Имаме еднакво виждане за задачата,но ptj ме изпревари!
Поздравления,колега ptj!

[ins-]

Това тъждество и близки до него биха могли да се използват за решаване на много задачи, например:
viewtopic.php?f=10&t=24109 ,
задача 5. от тук:
https://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO398.pdf
и задача 2. от тук:
http://math-bg.com/wp-content/uploads/2 ... kl-OBL.pdf
От него и равенството на Ойлер за разстроянието между центровете на вписаната и описаната окръжност следва, че: [tex]cosA+cosB+cosC \le 3/2[/tex]

[KOPMOPAH]

Добре-2.gif (40.86 KiB) Прегледано 507 пъти

Поздравления за всички, които решиха или харесаха задачата.

[Евва]

Като видях единицата се сетих да използвам доказано тъждество,което важи при триъгълници.
cos[tex]\alpha[/tex]+cos[tex]\beta[/tex]+cos[tex]\gamma[/tex]=1+4sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]sin[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]sin[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=

Скрит текст: покажи

Следват Ойлерови формули

=1+4[tex]\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/tex].[tex]\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{ac}}[/tex].[tex]\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}[/tex] =

=1+4[tex]\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}[/tex]=

=1+4[tex]\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p4RS}[/tex]=

=1+[tex]\frac{S^{2}}{pRS}[/tex]=

=1+[tex]\frac{pr}{pR}[/tex]=

=1+[tex]\frac{r}{R}[/tex]