Колко реални корена ...

[KOPMOPAH]

... има уравнението:$$xe^{-x}+e^{-x}+\frac{x^2}2-1=0$$

[Davids]

Ще дефинираме $f(x) = e^{-x}(x + 1)$ и $g(x) = 1 - \frac{x^2}{2}$.
Тогава търсим броя на корените на уравнението $f(x) = g(x)$, т.е. на пресечните точки на функциите.

За целта:
$f'(x) = -xe^{-x}$
$g'(x) = -x$

Хвърляме един бърз поглед на хубавичките производни и сравнително тривиално правим обоснования извод, че и двете функции имат глобален максимум 1 при $x = 0$. Първа пресечна точка.

Остават две наблюдения:
1) $\forall x > 0: f'(x) > g'(x) \Rightarrow$ след нулата не са възможни повече пресечни точки.
2) $\forall x < 0: f'(x) < g'(x) \Rightarrow$ преди нулата също не са възможни повече пресечни точки.

Така единствена пресечна точка ни остава максимума 1 при $x = 0$.

[KOPMOPAH]

Бравo.gif (6.89 KiB) Прегледано 410 пъти

Това е интелигентното решение, а друг би написал просто цифрата $1$.

[S.B.]

Бравo.gif

Това е интелигентното решение, а друг би написал просто цифрата $1$.

Интелигентна задача - интелигентно решение!

[ptj]

[tex]f(x)=(xe^{-x}+e^{-x}+\frac{x^2}2-1)[/tex]

[tex]f'(x)=x(1-e^{-x})[/tex]

[tex]f''(x)=1-e^{-x}[/tex]

[tex]f'''(x)=e^{-x}[/tex]

[tex]f'(0)=f''(0)=0[/tex]

[tex]f'''(0)=1[/tex]

Първата производна е непрекъсната функция, която се нулира единствено при [tex]x=0[/tex]. Тъй като втората производна в нея също е 0, а едва третата е различна, то [tex]x=0[/tex] е инфлексна точка (сменя вдлъбнатост с изпъкналост).

Вследствие горния факт и непрекъснатостта на [tex]f(x)[/tex] - всяка нейна допустима стойност се достига точно веднъж. В частност [tex]f(0)=0[/tex].


П.П. По принцип можеше да използваме непрекъснатостта и ако намерим две стойности на функцията с различни знаци, да направим заключение, че тя пресича абцисата (x=0) точно в една точка.