Система

[S.B.]

За кои стойности на $a$ и $b$ системата :

$\begin{array}{|l} 3^{2(x - y)} - 6.3^{-2x} - 3^{- y} > 0 \\ ax + by = 5 \end{array}$

има решение?

[vezni]

Скрит текст: покажи

Разглеждайки израза [tex]3^{2(x-y)}-6.3^{-2x}-3^{-y}[/tex] като квадратен спрямо [tex]3^{-y}[/tex], се получава разлагането
[tex]3^{2(x-y)}-6.3^{-2x}-3^{-y} = (3^{-y}+2.3^{-2x})(3^{2x-y}-3) > 0[/tex]. Първият множител е положителен, остава [tex]3^{2x-y}>3 \Leftrightarrow 2x-y>1[/tex]
и системата е [tex]\begin{array}{|l} 2x-y>1 \\ ax+by=5 \end{array}[/tex]. При [tex]a=b=0[/tex] очевидно няма решения. Ако [tex]a\ne 0,b=0[/tex], решенията на уравнението са всяко [tex]y[/tex] и [tex]x=\frac{5}{a}[/tex]. За достатъчно малки $y$ ще са решения и на неравенството, тоест системата има решение. Остава да разгледаме [tex]b\ne 0[/tex]. Решението на уравнението е [tex]y=\frac{5-ax}{b}[/tex], заместваме в неравенството и получаваме [tex]\left(\frac{a}{b}+2\right)x>1+\frac{5}{b}[/tex]. Ако е линейно, винаги ще има решения, оттам и системата ще има решение. Значи [tex]\tfrac{a}{b}+2\ne 0 \Leftrightarrow a\ne-2b[/tex] е от търсените стойности. Ако не е линейно, тоест [tex]a=-2b[/tex], трябва дясната страна да е отрицателна и се получава [tex]1+\tfrac{5}{b}<0 \Leftrightarrow b\in (-5,0)[/tex]. Като обединим всички случаи,
отговорът е всяко [tex]a[/tex] при [tex]b\in (-5,0)[/tex] и [tex]a\ne -2b[/tex] при [tex]b\in (-\infty,-5]\cup[0, \infty)[/tex].

[differenciala]

Здравейте. Може да се разсъждава и геометрично. Първото неравенство е изпълнено при $2x-y-1>0$ т. е. в някаква полуравнина. Това може да се види, като неравенството се сведе до квадратно относно $3^{2x-y}$, след умножаване с $3^y$. При $a\neq 0$ или $b\neq 0$, уравнението в системата определя някаква права. Системата има решение, ако тази права пресича полуравнината. Лесно се описват случаите, когато системата няма решение, а именно когато правата е паралелна на границата на полуравнината и не пресича полуравнината. Оттук с отрицание се получават случаите, когато системата има решение. Между другото, в предходния пост има грешка.

[S.B.]

Отговорът е:
1) За $a = 0 ,b = 0$ - системата няма решение;
2) За [tex]a \ne 0[/tex]:
а) $b = 0 $ - има решение $ (x = \frac{5}{a} ; y <( \frac{10}{a} - 1))$;
б) $ b > 0 $ и $ a \ne - 2b$- има решение $(x > \frac{5 + b}{a + 2b} ; y = \frac{5 -ax}{b})$;
в) $ b < 0 $ и $ a \ne - 2b $ - има решение $(x < \frac{5 + b}{a + 2b}; y = \frac{5 - ax}{b})$;
3) $a = - 2b $ - има решение за $b \in (0 ; - 5)$