За любителите на ромбове

[KOPMOPAH]

Даден е ромб $ABCD$, $\measuredangle DAB > 90^\circ$. На страната $AD$ са взети точки $I$ и $J$, а на $CD$ - $K$ и $L$ ($I$ е между $A$ и $J$, $K$ е между $C$ и $L$), като $$AI:IJ:JD=CK:KL:LD=3:5:4.$$
а) да се докаже, че отсечките $BK$, $BL$, $BJ$ и $BI$ разделят диагонала $AC$ на пет равни части;
б) ако лицето на ромба е $S$, да се намери лицето на триъгълника $\triangle AMJ$, където $M$ е пресечната точка на $AL$ и $BJ$.

[S.B.]

Без заглавие (19).png (476.89 KiB) Прегледано 419 пъти

Даден е ромб $ABCD$, $\measuredangle DAB > 90^\circ$. На страната $AD$ са взети точки $I$ и $J$, а на $CD$ - $K$ и $L$ ($I$ е между $A$ и $J$, $K$ е между $C$ и $L$), като $$AI:IJ:JD=CK:KL:LD=3:5:4.$$
а) да се докаже, че отсечките $BK$, $BL$, $BJ$ и $BI$ разделят диагонала $AC$ на пет равни части;
б) ако лицето на ромба е $S$, да се намери лицето на триъгълника $\triangle AMJ$, където $M$ е пресечната точка на $AL$ и $BJ$.

Нека [tex]AB = a,AC = d , \angle DCB = \alpha ,\angle DCA = \angle ACB = \frac{\alpha}{2} ,S_{ABCD } = S[/tex]
а)$ S = a^{2}.sin\alpha , S = da.sin\frac{\alpha}{2}$
1) $S_{KCB } = \frac{1}{2}KC.CB = \frac{1}{2}\frac{3a}{12}.a=\frac{1}{8}a^{2}.sin\alpha = \frac{1}{8}S$
$S_{KCB } = \frac{1}{2}KC.CT.sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}CT.CB.sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2}.CT(KC + CB) $
Нека $k_{1 } \in (0 , 1)$ и $ CT = k_{1 }d$,тогава:
$S_{KCB } = \frac{1}{2}k_{1 }d.\frac{5a}{4}.sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow S_{KCB } = \frac{5}{8}k_{1 }da.sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{8}k_{1 }.S$
$\begin{cases} S_{KCB } = \displaystyle\frac{1}{8}.S \\ S_{KBC } = \displaystyle\frac{5}{8}k_{1 }S \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{8}.S = \displaystyle\frac{5}{8}k_{1 }.S \Rightarrow k_{1 } = \frac{1}{5}$
Получи се ,че $TC = \frac{1}{5}d$
$\triangle KCB \cong \triangle IAB$ по 1-ви признак $\Rightarrow \angle CBK = \angle IBA$
Тогава и $\triangle CTB \cong \triangle ANB$ по 2-ри признак $$\Rightarrow AN = CT = \frac{1}{5}d$$
2)$S_{LCB } = \frac{1}{2}. CL.CB.sin\alpha = \frac{1}{3}a^{2}.sin\alpha = \frac{1}{3}.S$
Нека $k_{2}\in (0,1) $ и $CP = k_{2 }.d$ тогава:
$S_{LCB } = \frac{1}{2}.LC.CP.sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}.CB.CP.sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}.CP.sin\frac{\alpha}{2}(LC + CB)$
$S_{LCB } = \frac{1}{2}.k_{2 }.d.\frac{5a}{3}.sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{6}k_{2 }.da.sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{6}k_{2 }.S$
Получи се :$S_{LCB } = \frac{1}{3}.S , S_{LCB } = \frac{5}{6}k_{2 }.S \Rightarrow k_{2 } = \frac{2}{5}$
$\triangle LCB \cong \triangle ABJ $ (по 1-ви признак ) $\Rightarrow \angle CBP = \angle QBA$
Тогава $\triangle CBP \cong \triangle QBA$ $$ \Rightarrow BQ = CP = \frac{2}{5}d$$
$CP = CT + TP \Leftrightarrow \frac{2}{5} = \frac{1}{5} + TP \Rightarrow TP = \frac{1}{5}$ , аналогично и $NQ = \frac{1}{5}$
$AC = AN + NQ + QP + PT + TC \Leftrightarrow AC = QP +\frac{4}{5} \Rightarrow QP = \frac{1}{5}$
Или $AC$ се дели от отсечките $BK,BL,BJ,BI$ на $5$ равни отсечки.

б) Нека $AL = l , \angle DAL = \varphi$
$S_{DAL } = \frac{1}{2}AD.DL.sin(180 - \alpha) = \frac{1}{6}a^{2}sin\alpha$ (*)
$S_{DAL } = \frac{1}{2}.AD.AL.sin\varphi = \frac{1}{2}al.sin\varphi$ (**)
От (*) и (**) $ \Rightarrow l.sin\varphi = \frac{1}{3}a.sin\alpha$
$\triangle JML \approx \triangle AMQ \Rightarrow \frac{LM}{MA} = \frac{LJ}{AQ}$
От $\triangle DLJ$ по косинусова теорема $\Rightarrow LJ = \frac{2}{3}a.cos\frac{\alpha}{2} , AQ = \frac{2}{5}d$
Тогава $\displaystyle\frac{LM}{MA} = \displaystyle\frac{10a.cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{6d}$ Умножавам числителя и знаменатела по $a.sin\frac{\alpha}{2}$ и получавам,че:
$\displaystyle\frac{LM}{MA} = \displaystyle\frac{10a^{2}sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}.cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{6ad.sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}} = \displaystyle\frac{5a^{2}.sin\alpha}{6ad.sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}} = \displaystyle \frac{5.S}{6.S} = \frac{5}{6}$
$LM + MA = l \Rightarrow\frac{l - AM}{AM} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow l = AM.\frac{11}{6} \Leftrightarrow l.sin\varphi = \frac{11}{6}AM.sin\varphi$
Но $ l.sin\varphi = \frac{1}{3}a.sin\alpha \Rightarrow AM.sin\varphi = \frac{2}{11}a.sin\alpha$
$S_{AMJ } = \frac{1}{2}AJ.AM.sin\varphi = \frac{1}{2}.\frac{8}{12}a.\frac{2}{11}a.sin\alpha = \frac{2}{33}a^{2}.sin\alpha $ $$S_{AMJ } = \frac{2}{33}S$$

[Евва]

а) Означих AI=CK=3x ,IJ=KL=5x ,JD=LD=4x .Нека правите BI и BJ пресичат правата CD в т.F и т.E .
Доказах както S.B.,че AN=CT .Oзначих AN и CT =d,NQ =a,QP =b ,PT =c .
[tex]\triangle[/tex]ABJ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]JDE (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{8x}{4x}[/tex]=[tex]\frac{12x}{DE}[/tex] ;DE=6x ,също[tex]\triangle[/tex]ABI[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]IDF (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x}{9x}[/tex]=[tex]\frac{12x}{DF}[/tex] ;DF=36x

[tex]\triangle[/tex]ABQ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QCE [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a+d}{b+c+d}[/tex]=[tex]\frac{12x}{18x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] d=2b+2c-3a (1)

[tex]\triangle[/tex]ABP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]PCL [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a+b+d}{c+d}[/tex]=[tex]\frac{12x}{8x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] d=2a+2b-3c (2) ;От (1) и (2) намираме 2b+2c-3a=2a+2b-3c [tex]\Leftrightarrow[/tex] a=c (3)

От (1) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] d=2b-a (4)

[tex]\triangle[/tex]ABN[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NCF (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{d}{2a+b+d}[/tex]=[tex]\frac{12x}{48x}[/tex] ;3d=2a+b (5) [Заместваме (4) в (5)] 3(2b-a)=2a+b т.е. a=b (6)

[Накрая заместваме (3) и (6) в (1) ] d=2a+2a-3a т.е.d=a (7)

Доказахме,че a=b=c=d т.е. NQ=QP=PT=TC=AN

[S.B.]

а) Означих AI=CK=3x ,IJ=KL=5x ,JD=LD=4x .Нека правите BI и BJ пресичат правата CD в т.F и т.E .
Доказах както S.B.,че AN=CT .Oзначих AN и CT =d,NQ =a,QP =b ,PT =c .
[tex]\triangle[/tex]ABJ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]JDE (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{8x}{4x}[/tex]=[tex]\frac{12x}{DE}[/tex] ;DE=6x ,също[tex]\triangle[/tex]ABI[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]IDF (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x}{9x}[/tex]=[tex]\frac{12x}{DF}[/tex] ;DF=36x

[tex]\triangle[/tex]ABQ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QCE [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a+d}{b+c+d}[/tex]=[tex]\frac{12x}{18x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] d=2b+2c-3a (1)

[tex]\triangle[/tex]ABP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]PCL [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a+b+d}{c+d}[/tex]=[tex]\frac{12x}{8x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] d=2a+2b-3c (2) ;От (1) и (2) намираме 2b+2c-3a=2a+2b-3c [tex]\Leftrightarrow[/tex] a=c (3)

От (1) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] d=2b-a (4)

[tex]\triangle[/tex]ABN[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NCF (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{d}{2a+b+d}[/tex]=[tex]\frac{12x}{48x}[/tex] ;3d=2a+b (5) [Заместваме (4) в (5)] 3(2b-a)=2a+b т.е. a=b (6)

[Накрая заместваме (3) и (6) в (1) ] d=2a+2a-3a т.е.d=a (7)

Доказахме,че a=b=c=d т.е. NQ=QP=PT=TC=AN

Нещо не ми е много ясно:
На чертежа :[tex]BI \cap CD = N, BJ \cap CD = Q[/tex] Според Вас $BI \cap CD = E ,BJ \cap CD = F$
Във Вашето доказателство използвате както $N$ и $Q$ така и $E$ и $ F$
Излиза,че $BI$ и $ BJ$ имат по ДВЕ общи точки с $CD$

[Евва]

Точките C,D,E,F-лежат на една права .